¿Cómo mostrar que $\int_0^x\cos(t^2)\ dt>0 $ $x>0$?

Question

El artículo de Wikipedia sobre la integral de Fresnel parece mostrar eso $$ C (x): = \int_0^x\cos(t^2) \ dt > 0 $$ % todos $x>0$.

Pero no puedo encontrar una referencia. ¿Podría alguien dar una prueba o me apunte a alguna referencia?

Answer 1

Esquema de una prueba:

Nota que desde $C'(x) = \cos (x^2)$ $C'$ tiene ceros cuando $t^2 = \frac{\pi}{2} + k\pi$. También, como se mencionó en los comentarios, tenemos $$ C(x) = \int_0^{x^2}\frac{1}{2\sqrt{y}} \cos y dy.$ $ definir así $$c_0 = \int_0^{\pi/2}\frac{1}{2\sqrt{y}} \cos y dy,$ $ $$c_k = \int_{\pi/2+(k-1)\pi}^{\pi/2+k\pi}\frac{1}{2\sqrt{y}} \cos y dy,$ $ $k>0$.

Reclamo 1:$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty c_k $ es una serie alterna (con $|c_1|$ terminantemente menos de $|c_0|$ y $c_0>0$).

Afirmación 2: Si $\pi/2+(n-1)\pi < x \leq \pi/2+n\pi$ y $$ \sum_{k=0}^{n-1} c_k < C(x) \leq \sum_{k=0}^{n} c_k.$ $

Por lo tanto...

Answer 2

En primer lugar, desde $C'(x) = \cos(x^2)$, $C(x)$ alterna el aumento y la disminución en el $x = \sqrt{\pi (n+1/2)}$$n\in\mathbb{Z}$.

Luego, utilizando la substution Daniel sugiere, \begin{align*} \int_{\sqrt{\pi (2n+1/2)}}^{\sqrt{\pi(2n+3/2)}} \cos(t^2)\,dt &= \int_{\pi (2n+1/2)}^{\pi(2n+3/2)} \cos(u)\frac{1}{2\sqrt{u}}\,du\\ &> \frac{1}{2\pi(2n+3/2)}\int_{\pi (2n+1/2)}^{\pi(2n+3/2)} \cos(u)\,du\\ &= \frac{1}{\pi(2n+3/2)} \end{align*} y $$\int_{\sqrt{\pi (2n+3/2)}}^{\sqrt{\pi(2n+5/2)}} \cos(t^2)\,dt = \int_{\pi (2n+3/2)}^{\pi(2n+5/2)} \cos(u)\frac{1}{2\sqrt{u}}\,du > -\frac{1}{\pi(2n+3/2)}$$ desde $\cos u$ es positivo y negativo en el todo el dominio de integración, respectivamente.

El último detalle que debemos comprobar es que $C(\sqrt{3\pi/2})>0$; no debe ser una buena manera de hacerlo analíticamente, aunque es bastante fácil numéricamente para calcular el $C(\sqrt{3\pi/2})>0.4 > 0.$

Luego tenemos a $C(\sqrt{\pi(n+1/2)})>0$ todos los $n$; y, por supuesto, $C$ también debe ser positiva entre estos puntos críticos.