Demostrar que una sucesión cuya segunda diferencia es una constante distinta de cero es cuadrática.

Question

Por ejemplo, si { $a_0, a_1, a_2, a_3, ...$ } es la secuencia, la primera diferencia es { $a_1-a_0, a_2-a_1, a_3-a_2, ...$ }, y la segunda diferencia es { $(a_2-a_1)-(a_1-a_0), (a_3-a_2)-(a_2-a_1), ...$ }.

Creo que con utilizar hechos de hasta Cálculo, tal vez derivados, debería ser suficiente. Me encuentro dando vueltas en círculos y no sé cómo enfocar esto.

Answer 1

Sea $d$ denotan la segunda diferencia constante. Además, sea \begin{align*} c\equiv&\,a_1-a_0-\frac{d}{2},\\ \end{align*}

Reclamación: $a_n=(d/2)n^2+cn+a_0$ para todos $n\in\{0,1,2\ldots\}$ .

Prueba: La afirmación es obviamente cierta para $n=0$ . Para $n=1$ , $$\frac{d}{2}\times n^2+cn+a_0=\frac{d}{2}+\left(a_1-a_0-\frac{d}{2}\right)+a_0=a_1.$$ Proceda por inducción: suponga que la afirmación es cierta para $0,1,\ldots,n$ para algún número entero $n\geq1$ . La tarea consiste en demostrar que es cierto para $n+1$ . Ahora: \begin{align*} d=&\,(a_{n+1}-a_n)-(a_n-a_{n-1})=a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}\\ =&\,a_{n+1}-2\left[\frac{d}{2}\times n^2+cn+a_0\right]+\left[\frac{d}{2}\times (n-1)^2+c(n-1)+a_0\right], \end{align*} donde la primera igualdad proviene de la definición de $d$ y la tercera se debe a la hipótesis de inducción. Ahora, reordenamos para $a_{n+1}$ : \begin{align*} a_{n+1}=&\,d+2\left[\frac{d}{2}\times n^2+cn+a_0\right]-\left[\frac{d}{2}\times (n-1)^2+c(n-1)+a_0\right]\\ =&\,d+dn^2+2cn+2a_0-\frac{d}{2}\times(n^2-2n+1)-c(n-1)-a_0\\ =&\,\underbrace{d}_{\spadesuit}+\underbrace{dn^2}_{\heartsuit}+\underbrace{2cn}_{\clubsuit}+\underbrace{2a_0}_{\diamondsuit}-\underbrace{\frac{d}{2}\times n^2}_{\heartsuit}+\underbrace{dn}_{\star}-\underbrace{\frac{d}{2}}_{\spadesuit}-\underbrace{cn}_{\clubsuit}+\underbrace{c}_{\clubsuit}-\underbrace{a_0}_{\diamondsuit}\\ =&\,\underbrace{\frac{d}{2}}_{\spadesuit}+\underbrace{\frac{d}{2}\times n^2}_{\heartsuit}+\underbrace{c(n+1)}_{\clubsuit}+\underbrace{a_0}_{\diamondsuit}+\underbrace{dn}_{\star}\\ =&\,\frac{d}{2}\times n^2+dn+\frac{d}{2}+c(n+1)+a_0\\ =&\,\frac{d}{2}\times(n+1)^2+c(n+1)+a_0. \end{align*} La prueba está completa. $\quad\blacksquare$