Functorial propiedades de la topología compactada abierta.

Question

Deje $X,Y,Y'$ ser espacios topológicos y $A\subseteq Y$ un subespacio. Cada conjunto de continuo mapas está equipado con el compacto-abierta de la topología.

1. Es la canónica mapa de $\mathcal{C}(X,Y)\times\mathcal{C}(X,Y')\rightarrow\mathcal{C}(X,Y\times Y')$ un homeomorphism?
2. Qué $\mathcal{C}(X,A)$ llevar la topología de subespacio de $\mathcal{C}(X,Y)$, es decir, es el mapa de $\mathcal{C}(X,A)\rightarrow \mathcal{C}(X,Y)$ dado por postcomposing con la inclusión de un homeomorphism en su imagen?

Si se cambia nada, todos los espacios pueden ser asumidas para ser localmente compacto Hausdorff y paracompact.

Creo que la primera reclamación debe seguir en el hecho de que $\mathcal{C}(X,\_)$ es un derecho adjoint de $X\times\_$, por lo que conserva los límites, en particular de productos. (Al menos si $X$ es localmente compacto.) Es el razonamiento correcto? ¿Qué acerca de la segunda pregunta?

Answer 1

1. Sí, como se señaló en los comentarios, funciona tu argumento.

2. Si $K$ es un subconjunto compacto de $X$ $U$ subconjunto abierto de $Y$, el % de inclusión $A\subset Y$mapas $\{f\in C(X,A):f(K)\subset A\cap U\}$ $\{f\in C(X,A):f(K)\subset U\}\bigcap C(X,A)$. Así el mapa $C(X,A)\to C(X,Y)$ identifica los elementos de base de la propia topología compacto abierta de $C(X,A)$ con elementos de la base de la topología inducida en él.