Cómo recuperar la cohomología de un toro a partir de su descripción de un cociente

Question

Nota: aquí, "cohomology" significa "De Rham cohomology".

Sé cómo calcular el De Rham Cohomology de un toro $T=\left(S^1\right)^n$ usando Kunneth fórmula.

Pero un toro también se puede obtener como cociente $T_\Gamma$ $\mathbb R^n$ por un subgrupo discreto $\Gamma$ de la fila $n$$\mathbb R^n$. Es posible calcular el cohomology de el toro a partir de esa información?

Mi única idea es utilizar el canónica surjection $\pi:\mathbb R^n\to T_\Gamma$ a inducir una aplicación $\pi^\ast$ $H^p(T_\Gamma)$ a $H^p(\mathbb R^n)$, pero desde $H^p(\mathbb R^n)=0$$p>0$, no veo cómo puede ser útil...

Answer 1

Voy a explicar una metodología analítica para la computación de Rham cohomology, para complementar Qiaochu del algebraicas. Poner cualquier métrica de Riemann en el toro, entonces existe un natural mapa del espacio de $\mathcal{H}^k(T^n)$ de los armónicos $k$-formas a la de Rham cohomology $H^k_{dR}(T^n,\mathbb{R})$, donde enviamos una armónica formulario de Rham de la clase. De hecho, la Hodge teorema establece que este mapa es un isomorfismo; es decir, cada uno de de Rham de la clase tiene un único armónico representante.

Si ponemos el plano métrico en el toro (la métrica inducida por el cociente mapa de $\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n/\Gamma = T^n$), entonces la única global armónica de funciones son las constantes. El armónico $k$formularios en $\mathbb{R}^n$ (y, por tanto, en $T^n$) son precisamente los que tienen armónica de los coeficientes de la serie de $k$formularios en $T^n$ son aquellos con coeficientes constantes. De ello se desprende que un $\mathbb{R}$-base de $k$formularios en $T^n$ es $$ \{ {dx}_{i_1} \wedge \ldots \wedge {dx}_{i_k} \colon 0 \leq i_1 < \ldots < i_k \leq n \}, $$ donde $x_1,\ldots,x_n$ son las coordenadas en $T^n$ heredado de $\mathbb{R}^n$. Por lo tanto, $$ { n \elegir k} = \dim_{\mathbb{R}} \mathcal{H}^k(T) = \dim_{\mathbb{R}} H^k_{dR}(T,\mathbb{R}). $$

Answer 2

$\mathbb{R}^n$ es contráctiles, por lo que esta descripción indica que el toro es una clasificación de espacio $B \mathbb{Z}^n$, o, equivalentemente, un Eilenberg-MacLane espacio de $K(\mathbb{Z}^n, 1)$, y de ahí su cohomology puede ser identificado con el grupo de cohomology de $\mathbb{Z}^n$. También se puede calcular utilizando el Kunneth fórmula, pero hay otras maneras.

El muy buen estado general es de alrededor de cocientes por las acciones libres de los grupos finitos, pero infinito grupos son mucho más complicada. Para el caso de grupos finitos $G$ si $X \to X/G$ es un cociente, a continuación, $H^{\bullet}(X/G, \mathbb{R}) \to H^{\bullet}(X, \mathbb{R})$ es una inyección (tenga en cuenta que esto no funciona para el toro) con la imagen, precisamente, el $G$-invariante subalgebra $H^{\bullet}(X, \mathbb{R})^G$. La forma de probar esto de de Rham cohomology es mediante el promedio de los formularios a través de $G$, que no se puede hacer si $G$ es infinito.