Dejemos que $f(z)$ sea una función analítica en un dominio que contenga el segmento $[0,1]$ y satisfactorio $f(z+1)=azf(z)+p(z)$ .

Question

Dejemos que $f(z)$ sea una función analítica en un dominio que contenga el segmento $[0,1]$ y satisfactorio $$ f(z+1)=azf(z)+p(z) $$ en ese dominio, donde $a\in\mathbb{R}$ y $p$ es un polinomio. Demuestre que $f$ puede continuarse analíticamente a un dominio $\{z\in\mathbb{C}\,:\,|\Im z|<\varepsilon\}$ para algunos $\varepsilon>0$ .

No sé muy bien cómo trabajar con esto. Mi intento fue derivar esta ecuación hasta que el polinomio desaparece, pero eso me da la ecuación (suponiendo $p$ tiene grado $(n-1)$ ) $$ f^{(n)}(z+1)=naf^{(n-1)}(z)+azf^{(n)}(z), $$ que no me parece que ayude mucho. Ni siquiera se me ocurre una forma de definir esta función que sólo deje probar la analiticidad en cada número entero. Cualquier ayuda se agradece mucho. Gracias

Answer 1

Para empezar, supongamos que $f(z)$ se ha definido en la plaza $(-\epsilon,1+\epsilon)\times(\epsilon,\epsilon)$ . (Al elegir una cubierta abierta finita).

Por $f_1(z+1)=azf(z)+p(z)$ definimos $f_1(z)$ en $(1-\epsilon,2+\epsilon)\times(\epsilon,\epsilon)$ . Probemos $f_1$ es una continuación directa de $f$ . Esto se deduce del hecho de que ambos son analíticos y de que están de acuerdo en $(1-\epsilon,1+\epsilon)\times(-\epsilon,\epsilon)$ .

Del mismo modo, podemos definir $f_2,f_3,\ldots$ y $f_{-1},f_{-2},\ldots$ . Poner $f_0=f$ .

Por último, defina $$F=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}f_n,$$ es decir $$F(z)=f_n(z),\forall z\in(n-\epsilon,n+1+\epsilon)\times(-\epsilon,\epsilon).$$ Está claro que $F$ es una continuación analítica de $f$ que satisface la condición.