expansión de p-adic

Question

Permita que$x \in \mathbb{Z}_p$ y$\{x_n\}$ sean tales que,$x_n \equiv x_{n+1} (mod \, p^{n+1})$; $0 \leq x_n \leq p^{n+1}-1$; $|x-x_n|_p \rightarrow 0, n \rightarrow \infty$.

$|x|_p=\left(\frac{1}{p}\right)^{v_p(x)}$

Muestre que$x \in \mathbb{Z}_p^{*}$ iff$p \nmid x_0$.

$\Rightarrow$ Lo sabemos, $x_0 \equiv x_1 (mod \, p) \Leftrightarrow p \mid x_0 - x_1 \Leftrightarrow x_0=pt + x_1, t \in \mathbb{Z} \Rightarrow p \nmid x_0$

$\Leftarrow$?

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Sugerencia: Como usted señala,

$$\mathbb{Z}_p=\left\{(x_n)\in\prod_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}:\text{for all }n\leqslant m,\, x_n\cong x_m\mod p^{n+1}\right\}$$

Por lo tanto, un elemento de $\mathbb{Z}_p$ es invertible si y sólo si $x_n$ es invertible para todos los $n$. Esto automáticamente las fuerzas de $x_0\not\equiv 0\mod p$. Pero, por el contrario, si $x_0\not\equiv 0\mod p$, $(x_n,p^n)=1$ todos los $n\geqslant 1$ (¿por qué? Sugerencia: usar la consistencia de las condiciones) y por lo tanto todos los $x_n\in (\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^\times$

EDIT: también puede ser útil recordar que $\mathbb{Z}_p$ es

$$\{x\in\mathbb{Q}_p:v_p(x)\geqslant 0\}$$

Desde $v_p(x^{-1})=-v_p(x)$$x\in\mathbb{Q}_p^\times$, se debe seguir con bastante rapidez que $x^{-1}\in\mathbb{Z}_p$ $x\in\mathbb{Z}_p$ si y sólo si $v_p(x)=0$ que dice precisamente...¿qué?