Expectativa condicional de variable aleatoria dada una suma

Question

Permitir$(X_i)_{i\geq1}$ iid en$\mathcal{L}^1(\Omega,\mathcal{F},p)$ ¿Es cierto que

$E(X_j|\sum_{i=1}^nX_i)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$

Para cada$j$ donde$1\leq j \leq n$.

Creo que es cierto, porque dada la información de la suma, el mejor pronóstico para$X_j$ es el valor medio.

Me pregunto si esto se puede demostrar formalmente usando la relación de definición del valor esperado condicional$(i.e \quad E(E(X|\mathcal{G})I_A)=E(XI_A))$ donde$A$ es cualquier conjunto en$\mathcal{G}$ y$\mathcal{G}$ es un sub$\sigma-$ % álgebra de$\mathcal{F}$.

Answer 1

Dejar $S_n = \sum\limits_{i=1}^n X_i$

Como para todo$j:1\leq j\leq n$, las variables aleatorias$X_j$ son independientes e idénticamente distribuidas, entonces$\mathsf E(X_j\mid S_n)$ tienen todos los mismos valores. Es una cuestión de simetría. $$ \begin{align}\mathsf E(X_j\mid S_n) &= \tfrac 1n\sum_{i=1}^n\mathsf E(X_i\mid S_n) &&\text{Symmetry, }\forall j\in\{1..n\}\\[1ex] & = \tfrac 1n\mathsf E(\sum_{i=1}^n X_i\mid S_n) && \text{Linearity of Expectation}\\[1ex] &= \tfrac 1n \mathsf E(S_n\mid S_n) && \text{by definition of } S_n\\[1ex] & = \tfrac 1n S_n &&\text{clearly }\mathsf E(S_n\mid S_n)=S_n \\[2ex]\therefore\quad\mathsf E(X_j\mid \sum_{i=1}^n X_i) & = \tfrac 1n\sum_{i=1}^n X_i&&\text{when }{(X_j)}_{j\in\{1..n\}}\text{ are iid.} \end {align} $$ Eso es todo lo que necesitas.

Answer 2

Permita que$P(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ sea la función de densidad de probabilidad$n$ variable de$X_1,X_2,\ldots,X_n$. Entonces el valor de expectativa condicional

ps

Supongamos que$$E_j(S)\equiv\mathrm{E}(X_j|\textstyle\sum_{i\!}X_i=S)=\frac{\displaystyle\int x_jP(x_1,x_2,\ldots,x_n)\delta(x_1+\cdots+x_n-S)d^nx}{\displaystyle\int P(x_1,x_2,\ldots,x_n)\delta(x_1+\cdots+x_n-S)d^nx}.$ es invariante cíclica. Entonces esto lleva a

ps

También tenemos desde la función integral y delta

ps

Por lo tanto $P(x_1,x_2,\ldots,x_n)=P(x_2,x_3,\ldots,x_1)$