Considere la siguiente afirmación:
( Teorema de Hellinger-Toeplitz ) Deja que $H$ sea un espacio de Hilbert y $A : H \to H$ sea lineal y simétrica, es decir. $$\langle x,Ay \rangle = \langle Ax,y \rangle$$ es válida para todos los $x,y \in H$ . Entonces $A$ está acotado.
Lo demuestro utilizando el teorema de Banach-Steinhaus. He definido $\varphi_y : H \to \mathbb{C}$ por $\varphi_y(x) := \langle A(y),x \rangle$ y $$\mathcal{F} := \{\varphi_y : y \in \partial B_1(0)\}$$ Es fácil demostrar que $\mathcal{F}$ satisface los prerrequisitos del teorema de Banach-Steinhaus y por tanto $$\sup_{T \in \mathcal{F}} \|T\| < \infty$$ Ahora quiero usar esto para mostrar que $A$ está acotado. Para $x \in H$ Calculo $$\|A(x)\|^2 = \langle A(x),A(x) \rangle = \|x\|\langle A(x/\|x\|),A(x)\rangle = \|x\|\varphi_{x/\|x\|}(A(x))$$ Pero de alguna manera no puedo deshacerme del $A(x)$ en el argumento de $\varphi$ . ¿Alguien puede ayudarme a proceder?
