Matemáticas-curiosidades que son visualmente atractivas

Question

Para dar una charla a los 17-18 años de edad (que tiene un don para las matemáticas) acerca de lo interesante de las matemáticas (y, más específicamente, la matemática pura) puede ser, yo quería usar hechos agradables acompañados de aspecto agradable visualizaciones. Sin embargo, la matemática subyacente no debe ser demasiado trivial, de lo contrario no se parecen desafiantes para los estudiantes. Ya he mirado en el Caos-Matemáticas y Dimensiones-Matemáticas, que me proporcionó el material útil, y me preguntaba si alguien sabe de algo similar? Estoy seguro de que no tienen que ser las cosas en la geometría diferencial, topología o, que son igualmente atractivas!

Gracias!

Answer 1

Me gusta $e^{i\pi}=-1$ para hacer que la gente de " stop and go ", ¿Qué? ¿De verdad?"

Además de la simple explicación "Es $\cos(\theta) + i \sin(\theta)$" usted puede ver lo que la definición de la función exponencial de empezar con convergen en el círculo unidad.

Definición 1: $\exp(z)=\sum_{i=0}^\infty \frac{z^i}{i!}$

Definición 2: $\exp(z)=\lim_{n\rightarrow \infty} (1 + \frac{z}{n})^n$

Answer 2

Aquí es un hermoso video sobre la esfera de la eversión.

Aquí es un hermoso video sobre las transformaciones de Möbius.

Aquí está una galería de superficies en/diferencial de la geometría algebraica. Hay docenas de hermosas imágenes aquí -- y no hay mucho que decir acerca de todos ellos. Ejemplos:

Aquí están las fotos de la función de Weierstrass y de $f(z) = \text{exp}(1/z)$. La función de Weierstrass es continua pero no derivable. La segunda función proporciona un ejemplo visual de Picard del Teorema en la acción. Ambos de estos son bastante alucinante, creo.

Y por último, aquí está una foto de el fenómeno de la holonomy, que es un tema que me estoy planteando la investigación. Observe que la orientada hacia el norte vector de $A$ es paralelo transportado en un bucle, sin embargo, devuelve a punto $$ girado.

Answer 3

Siempre que escucho "bella de matemáticas", que inmediatamente piensan los fractales. Un favorito personal de la mina, por algún tiempo, ha sido el conjunto de Mandelbrot.

Tomar un punto en el plano complejo: $(x,y) \a x + yi$. Si usted cuadrado de este número $(x+yi)^2 = (x^2 - y^2) + 2xyi$, entonces el cuadrado el resultado, y así sucesivamente hasta el infinito, una de las tres cosas va a suceder. Si la magnitud de este número complejo (en línea recta la distancia desde el origen) es menor que uno, el valor será asintóticamente tendencia a cero. Si la magnitud es más que uno, que serán tendencia al infinito. Si la magnitud es exactamente uno, el valor será sin cambios, o se moverá en torno a varios otros puntos que son de una magnitud de 1. Esto en sí mismo puede ser utilizado para dibujar algunos visualmente-gráficos interesantes. El conjunto de todos los puntos para los cuales la función no diverge a infinito es el S-conjunto, y su forma es la del círculo unidad.

El conjunto de Mandelbrot agrega una simple variación de la función; en lugar de sólo de forma iterativa, el cuadrado, el valor se eleva al cuadrado, entonces el valor original, se añade. El conjunto de todos los puntos para los que esta función no divergen es la M-set. Suena fácil, y lo es, pero la forma que tenemos es, digamos, más complejo:

La forma de la M-set, de hecho, tiene una infinidad de detalles que figuran los coeficientes reales de los números complejos. La imagen de arriba (y la mayoría de las imágenes del conjunto de Mandelbrot) son de color, mediante el número de iteraciones de elevarlo al cuadrado y sumando necesarios para determinar que la función diverge a partir de ese punto (si la magnitud del valor supera los 2 sin duda divergen) elegir un color, un degradado o de otros paleta (arriba, de azul oscuro a blanco).

Acerca la imagen a cualquier punto en el borde del conjunto, y la M-conjunto de la muestra de la verdadera belleza:

"Bastante", me oigo decir, "pero, ¿es útil?" Bien:

• Aviso de la auto-similitud en muchas de las imágenes; en algunos, se ve la imagen de la serie completa se reproduce en lo que termina siendo una escala mucho menor. Los cálculos de las razones detrás de esto son el foco de estudio en los datos de los algoritmos de compresión.
• Este mismo auto-similitud también está siendo utilizado por los astrofísicos para explicar aspectos de nuestro universo entero, como por ejemplo por qué las galaxias tienden a agruparse en similares, aproximadamente rotacionalmente simétrico de las formas.
• Los puntos de cerca, pero no en la M-conjunto no difieren de forma lineal distancia desde el borde más cercano. La ruta de acceso de cualquier valor inicial se lleva a través del plano complejo en su camino hacia el infinito es, en muchos casos, igual de interesante (desde lo estético y puntos de vista matemático) como el conjunto completo. Este camino de seguimiento ha sido utilizado para simular la luz en el complejo reflectante/refracción estructuras, insectos como las conchas.
• Partes de la M-set (y de las relacionadas con conjuntos de Julia) se han utilizado como mapas topológicos para generar artificial terreno para películas y juegos de video.
• Otro tipo de fractal, en el espacio de Hilbert de llenado de la curva, se utiliza en los teléfonos celulares y otros dispositivos para sus antenas (para el lugar deseado de la longitud total de la antena conductor en una pequeña área como sea posible).

Answer 4

Estos estudiantes, sin duda, han cubierto trig. Si ellos también han tomado (o pronto) cálculo, a continuación, que pueden estar interesados en saber que el poder de la serie para el seno y coseno, y los de la secante y la tangente, han visualmente interesantes interpretaciones geométricas.

Ver mi respuesta aquí y también el PDF que acompaña a mi Bloog post, "La Geometría de la Alimentación de la Serie de Funciones Trigonométricas". Tal vez alguien en el público va a estar inspirado para encontrar la cifra correspondiente para la cosecante y la cotangente, que hasta ahora me evadía.

Hablando de la trigonometría ... Aquí una foto de otra respuesta (y Bloog post) que casi cuenta como una prueba sin palabras para los derivados de seno y coseno:

Answer 5

¿Qué característica de Euler y, digamos, Teorema de Poincaré-Hopf?