Si $\sum\limits_i\sum\limits_j\alpha_{ij}x_iy_j$ converge para cada cuadrado integrable $(x_n)$$(y_n)$, luego el orden de las sumas desplazamientos

Question

Deje $(\alpha_{ij})$ ser un cuadrado infinito matriz tal que para todos los $x=(\xi_{n}),y=(\eta_{n}) \in \ell ^{2}$ tenemos que ${\displaystyle \sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\alpha_{ij}\xi_{i}\eta_{j}}$ converge.

La pregunta: ¿Es correcto decir que $$\sum_{i=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\alpha_{ij}\xi_{i}\eta_{j}=\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty}\alpha_{ij}\xi_{i}\eta_{j} \:\:?. \tag{$\bigstar$}$$

Comentario: sabemos que si la serie converge absolutamente, entonces cada reordenamiento converge. No sé si en este caso es necesario demostrar que la serie converge absolutamente para ser capaces de demostrar $(\bigstar)$, sin embargo, no he sido capaz de mostrar esta convergencia absoluta.

Answer 1

Interesante pregunta! Me siento como uno podría construir un contra-ejemplo a tu conjetura utilizando un cuadrado infinito matriz donde suma no intercambio (por ejemplo, $B=(\beta_{ij})_{i,j=0}^\infty$ con $$ \beta_{ij}=\frac{\operatorname{sgn}(i-j)}{2^{|i-j|}}, $$

véase el Problema 9.16 en el libro "Contraejemplos en el Análisis" por Gelbaum & Olmsted) y el hecho de que, muy handwavingly hablando, $\ell_2$ secuencias de tener a "converger mejor que $1/\sqrt n$". Así que algo como $B$ o quizás $\hat\beta_{ij}=\beta_{ij}\sqrt{ij}$; a pesar de que no jugar con esta idea mucho por ahora.

Sin embargo, uno puede dar un suficiente criterio tal que las sumas de dinero en su problema de intercambio.

Teorema. Vamos a una plaza infinito matriz $A=(\alpha_{ij})_{i,j=0}^\infty$ recibir tal que $A$ es de square-summable c.f. Hilbert-Schmidt operador), por lo que $$ \sum_{i,j}|\alpha_{ij}|^2<\infty. $$ A continuación, $\sum_{i,j}\alpha_{ij}\xi_i\eta_j=\sum_{j,i}\alpha_{ij}\xi_i\eta_j$ para cualquier $x=(\xi_n)_{n=0}^\infty$, $y=(\eta_n)_{n=0}^\infty\in\ell_2$.

Prueba. Sabemos que si $\sum_{i,j}|b_{ij}|<\infty$ para algunos doblemente indexado infinita secuencia $(b_{ij})_{i,j}$, entonces podemos intercambio de las sumas de dinero (por ejemplo, Fubini para sumas). Ahora bien, esto es una simple consecuencia de Cauchy-Schwarz / Hölder la desigualdad en $\ell_2$ desde

$$ \sum_{i,j}|\alpha_{ij}\xi_i\eta_j|=\sum_{i}|\xi_i|\sum_j|\alpha_{ij}\eta_j|\leq \sum_{i}|\xi_i|\left( \sum_j|\alpha_{ij}|^2 \right)^{1/2}\underbrace{\left(\sum_j|\eta_{j}|^2 \right)^{1/2}}_{=\|y\|_2} $$

y haciendo ese truco dos veces rendimientos

$$ \sum_{i,j}|\alpha_{ij}\xi_i\eta_j|\leq\ldots\leq\left( \sum_{i,j}|\alpha_{ij}|^2 \right)^{1/2}\|x\|_2\|s\|_2<\infty.\etiqueta*{$\blacksquare$} $$

Tenga en cuenta sin embargo, que este criterio no es necesario. La matriz de identidad $I=(\delta_{ij})_{i,j=0}^\infty$ no es, obviamente, square-summable pero el doble de la suma en cuestión es intercambiable (ya que simplemente se convierte en el producto escalar en el espacio de real $\ell_2$ secuencias, que converge absolutamente usando el mismo truco que anteriormente sólo una vez). Espero que mi respuesta alguna manera de ayuda, independientemente!