La norma de un operador en un espacio de Hilbert

Question

Considere la posibilidad de un complejo espacio de Hilbert $H$ y un operador $T\in\mathcal{L}(H,H)$. Definir $$\|T\|=\sup_{\|x\|=\|y\|=1}\lvert\langle Tx, y\rangle\rvert$$, $$\||T|\|=\sup_{\|x\|=1}\lvert\langle Tx,x\rangle\rvert$$

Se puede encontrar un ejemplo de un complejo espacio de Hilbert $H$ y un operador $T$ tal que $\|T\|=2\||T|\|$. He estado pensando en ello y no lo encuentro.

Answer 1

Tomemos, por ejemplo, $$ T=\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{bmatrix}. $$ Entonces $$ \sup_{\|x\|=1}|x^TTx|=\sup_{\|x\|=1}|x_1x_2|=\sup_{t}|\cos t\sen t|=\frac12\sup_t|\sen 2t|=\frac12, $$ pero $$ \sup_{\|x\|=\|s\|=1}|y^TTx|=\sup_{\|x\|=\|s\|=1}|y_1x_2|=1. $$