Fácil la prueba de $\sum_{i=1}^n \left(Z_i - \bar{Z}\right)^2 \sim \chi^2_{n-1}$?

Question

Deje $Z_1,\cdots,Z_n$ ser independiente aleatoria normal estándar de las variables. Hay muchos (largo) de las pruebas por ahí, mostrando que

$$ \sum_{i=1}^n \left(Z_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n Z_j \right)^2 \sim \chi^2_{n-1} $$

Muchas de las pruebas son muy largos y algunos de ellos utilizan la inducción (por ejemplo, Casella Inferencia Estadística). Me pregunto si hay alguna fáciles de prueba de este resultado.

Answer 1

Para $k=1, 2, \ldots, n-1$, definir

$$X_k = (Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_k - kZ_{k+1})/\sqrt{k+k^2}.$$

El $X_k$, siendo transformaciones lineales de multinormally distribuido variables aleatorias $Z_i$, también tienen una distribución multinormal. Tenga en cuenta que

1. La varianza-covarianza de la matriz de $(X_1, X_2, \ldots, X_{n-1})$ $n-1\times n-1$ matriz identidad.

2. $X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_{n-1}^2 = \sum_{i=1}^n (Z_i-\bar Z)^2.$

$(1)$, lo cual es fácil de comprobar, implica directamente a $(2)$ sobre la observación de todos los $X_k$ no están correlacionados con $\bar Z.$ Los cálculos, todos vienen por el hecho de que $1+1+\cdots+1 - k = 0$, donde se $k$.

Juntos, estos muestran que $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar Z)^2$ la distribución de la suma de $n-1$ la no correlación de la unidad de la varianza variables Normales. Por definición, esta es la $\chi^2(n-1)$ distribución, QED.

Referencias

1. Para una explicación de donde la construcción de $X_k$ proviene de ver el comienzo de mi respuesta a Cómo realizar isométrica de registro de relación de transformación sobre Helmert matrices.

2. Esta es una simplificación de la general de la demostración dada en ocram la respuesta a ¿por Qué es RSS distribuidos de la chi cuadrado de n-p. La respuesta afirma que "existe una matriz" para la construcción de la $X_k$; aquí, yo la exhibición de dicha matriz.

Answer 2

Nota usted dice $Z_is$ son iid con la normal estándar $N(0,1)$, $\mu=0$ $\sigma=1$

A continuación, $Z_i^2\sim \chi^2_{(1)}$

Entonces \begin{align}\sum_{i=1}^n Z_i^2&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z}+\bar{Z})^2=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+n\bar{Z}^2\\&=\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2+\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \tag{1} \end{align}

Tenga en cuenta que el lado izquierdo de (1), $$\sum_{i=1}^n Z_i^2\sim\chi^2_{(n)}$$ y que el segundo término en el lado derecho $$\left[\frac{\sqrt{n}(\bar{Z}-0)}{1}\right ]^2 \sim\chi^2_{(1)}.$$

Además $\operatorname{Cov}(Z_i-\bar Z,\bar Z)=0$ tal que $Z_i-\bar Z$ $\bar Z$ son independientes. Por lo tanto, los dos últimos términos en (1) (funciones de $Z_i-\bar Z$$Z_i$) son también independientes. Su mgfs son, por tanto, relacionadas con la mgf del lado izquierdo de (1) a través de $$ M_n(t) = M_{n-1}(t)M_1(t) $$ donde$M_n(t)=(1-2t)^{-n/2}$$M_1(t)=(1-2t)^{-1/2}$. La mgf de $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$ por lo tanto $M_{n-1}(t)=M_n(t)/M_1(t)=(1-2t)^{-(n-1)/2}$. Por lo tanto, $\sum_{i=1}^n(Z_i-\bar{Z})^2$ es de la chi-cuadrado con $n-1$ grados de libertad.