Dado $x_0=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$$x_{n+1}=\frac{x_n^2-5}{2(x_n+2)}$, ¿cómo puedo encontrar a $x_n$?

Question

Deje $x_0=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}$ y

$$\forall n \in \mathbb{N} : x_{n+1}=\dfrac{x_n^2-5}{2(x_n+2)}$$

A continuación, $x_n=?$

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Yo :

$$x_{n+1}(2x_n+4)=x_n^2-5 \\2x_{n+1}x_n+4x_{n+1}=x_n^2-5\\x_n^2-2x_{n+1}x_n-(4x_{n+1}+5)=0$$

Por lo tanto tenemos :

$$x_n=\dfrac{2x_{n+1}\pm\sqrt{2x_{n+1}^2+4(4x_{n+1}+5)}}{2}$$

Ahora, ¿qué ?

Answer 1

Una observación crucial es que la sustitución de $x_n=a_n-2$ trae el dado de la recurrencia de la relación familiar, es decir, $$ a_{n+1} = \frac{a_n^2-1}{2a_n} $$ que se asocia con la duplicación de la fórmula para la función cotangente. En particular, $a_0=-\cot\theta$ implica $a_n=-\cot(2^n\theta)$$x_n=-2-\cot(2^n\theta)$. Desde $a_0=\cot\frac{\pi}{24}$ hemos

$$ x_n = -2+\cot\left(\frac{\pi\cdot2^n}{24}\right) $$ y nuestra secuencia mantiene oscilando entre los $-2-\frac{1}{\sqrt{3}}$$-2+\frac{1}{\sqrt{3}}$$x_3$.

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De todos modos, para cualquier $x_0\in\mathbb{R}$ la secuencia dada nunca es convergente, ya que, como se señaló en los comentarios, es el método de Newton aplicado a un polinomio cuadrático con una negativa discriminante ($x^2+4x+5$).