Relación entre el análisis no estándar y no estándar de los modelos de la aritmética

Question

Por lo que he estado leyendo a través de algunos textos de introducción en el análisis no estándar, básicamente a través de la ultrafilter construcción de hyperreals y la transferencia de principio. Parece que la mayor parte del tiempo, la notación es copiar directamente encima de los estándares en modelos no estándar de la aritmética (a la manera de Skolem), con $\omega$ lo que representa un infinito no estándar de valor, etc.

Esto me puso a pensar: ¿es posible revertir este proceso? es decir. tomar tuplas de algún modelo no estándar de la aritmética, a continuación, aplicar un análogo de dedekind cortes con el fin de construir $^*\mathbb{R}$?

Este PARECE ser el método obvio para tomar, lo que me hace sospechar que, o bien no vamos a terminar con un campo, o es difícil de averiguar que modelo no estándar de la aritmética es necesario, o el conjunto resultante será de alguna manera "más pequeño" que el hyperreals y no es suficiente para demostrar la transferencia de principio.

Alguien sabe la respuesta o algunos buenos recursos para la aclaración de por qué esto no iba a funcionar?

Answer 1

Esto no va a funcionar porque el hyperreal campo ${}^\ast\mathbb R$ es no Dedekind-completa. Asimismo, dado que los modelos no estándar de la aritmética a la Skolem se construyen en ZF, un procedimiento canónico (no se basa en ninguna versión de la Elección), tales como tomar el Dedekind finalización no va a funcionar, ya que se sabe que alguna versión de AC es necesario especificar un ${}^\ast \mathbb R$ con las propiedades requeridas.

Answer 2

En mi comprensión del tema, el problema difícil es determinar cuál es el interno establece que debería ser.

El mejor marco para el problema es tomar como punto de partida un modelo no estándar de la teoría de conjuntos (si ZFC o algo más como ETCS), en lugar de sólo un modelo no estándar de la aritmética.

Ya que es un modelo no estándar de la teoría de conjuntos, usted puede hacer todas las cosas habituales internamente, tales como la construcción de su conjunto de los números reales a través de (interno) Dedekind cortes de su conjunto de los números racionales.

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Mi impresión es que no puede ser una buena manera de comenzar a partir de un modelo de la aritmética y generar un universo de conjuntos con la propiedad de que el modelo dado de la aritmética corresponde a su conjunto de los números naturales. Pero estoy en ninguna parte cerca de un experto en ese tipo de pregunta.