Mi profesor nos dio esta pregunta:
Una función de $f$ tiene la propiedad
$$f(x+y) = f(xy) $$
$$\forall x, y\geq4; x,y\epsilon Z$$
$$f(8)=9$$
Encontrar $f(9)$.
Sé que la solución a esta pregunta.
$9=f(8) = f(4+4) = f(16)=f(8+8)=f(64)=f(16\cdot4)=f(20)=f(4\cdot5)=f(9)=9$
Pero he probado este para otros valores de y cada vez que venía $9$. Creo que esto será cierto para todo entero $\geq 4$. La intuición me dice que puedo llegar a cualquier número entero entre otro entero por la realización de dichas operaciones.
Es la función de $9$ para cada entero $\geq 4$? Si es así, ¿cuál sería su rigurosa prueba? Creo que puede necesitar un poco de la teoría de números.
Edit: me di cuenta de que si mi suposición es verdadera, sólo es posible para $n\geq8$.
Respuestas
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No hay manera de demostrar $f(5)=9$.
Decir $x+y=5$ $x<y$ $x<4$ y no se puede usar $f(5)=f(xy)$.
Decir $xy=5$ $x=1$ $y=5$ (o viceversa) y ahora no puede usar $f(5)=f(6)$.
Así que se queda con un $f(5)$. Tenemos el mismo problema con $f(6)$$f(7)$.
Tal vez para todos los $n\geq 8$ podemos decir $f(n)=9$
No tenemos forma de acceder a $f(4)$, $f(5)$, $f(6)$, o $f(7)$ utilizando sólo la información que se presente.
(Debido a limitaciones de tiempo, esta es sólo una respuesta parcial. Puedo invitar a nadie a terminar o pincho para apresurado pensar.)
Sin embargo, podemos hacer un seguimiento de nuestro progreso de la comprensión de la utilización de puntos en el plano. Deje $n \geq 8$ y considerar la línea de $y = n-x$$4 \leq x \leq n - 4$. En esta línea, $f(x+y) = f(n)$, por lo que la función es constante en cada una de estas líneas (pero todavía potencialmente tiene diferentes valores en diferentes líneas). (Tenga en cuenta que sólo hablamos de los puntos con coordenadas enteras en esta línea, pero tal vez se dibuja una línea continua, por lo que podemos visualizar más claramente los puntos que nos han demostrado producir los mismos valores en $f$.)
Ahora vamos a $m \geq 16$ y considerar la parte de la hipérbola $y = \frac{m}{x}$$x \geq 4, y \geq 4$. De $f(xy) = f(m)$, podemos ver que $f$ es constante en cada uno de estos hyperbolae.
A partir de estos dos hechos, vemos que cada línea, $L$, $f$ es constante y $f$ es forzado a ser el mismo valor constante en cada una hipérbola de intersección $L$ a un punto entero. Simétricamente, cada hipérbola fuerzas de las líneas que integralmente se cruza a compartir su valor constante para $f$.
Estas observaciones permiten inductivo see-saw. Para cualquier punto, siga su línea hasta el punto de con $y=4$. A continuación, siga que hipérbola hasta el punto de mínima $|x - y|$. Esta secuencia de puntos al final de la hipérbola movimiento debe mover más cerca del origen. Así que tenemos una estrictamente decreciente acotada secuencia de distancias desde el origen. Esto significa que una ruta de acceso desde cualquier punto, finalmente aterriza en la $n=8$ línea.
(Último pensamiento: El caso $y=4$, $m$ prime, me hace pensar en que debemos de tomar realmente el mínimo sobre todos los posibles hipérbola se mueve a partir de una línea. Tal vez estoy más precaución.)
Si $n\geq 16$ tiene una factorización como $p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}},$ cuando la $p_{k}$ son distintos de los números primos y el$r_{k}\geq 1,$, entonces si hay algo de $p_{i}^{r_{i}}\geq 4$ tal que $p_{i}^{-r_{i}}n\geq4,$ podemos obtener $f(n)=f(p_{i}^{r_{i}}+p_{i}^{-r_{i}}n)$, y así obtener algunos $8\leq m<n$ que $f(m)=f(n)$ (tenga en cuenta que $a<ab/2$ siempre $b>4$, e $b\leq ab/2$ siempre $a\geq 4,$ $a+b<ab$ siempre $a\geq 4$ $b>4,$ $f(16)=f(4+4)=f(8)).$ Nota también de que, si $p_{i}\geq 5$ algunos $i,$ $p_{i}^{-1}n\geq 4,$ tenemos $f(n)=f(p_{i}+p_{i}^{-1}n),$, por lo que de nuevo tenemos $f(n)=f(m)$ algunos $8\leq m<n.$ Esto también funciona si $6|n,$$n/6\geq 4$, en cuyo caso $f(n)=f(6+n/6),$ que también da a $f(n)=f(m)$ algunos $8\leq m<n.$, En los casos que debemos considerar son $n\geq 16$ de la forma $2p$, $p\geq 5;$ $3p,$ $p\geq 5;$ $18;$ y $p$ donde $p\geq 17$.
$f(2p)=f(2(p-2)+4)=f(8(p-2))=f(p+6),$ $p+6<2p$ siempre $6<p;$ pero $2p>16$ sólo al$p>8,$, por lo que este contiene.
$f(3p)=f(3(p-2)+6)=f(18(p-2))=f(p+16),$ $p+16<3p$ siempre $16<2p$ o $8<p$; pero $3p>16$ implica que el $p\geq 7,$ por lo que el único caso para cubrir el es $n=21,$ donde tenemos $f(21)=f(4+17)=f(68)=f(5+63)=f(315)=f(21\cdot 15)=f(36)=f(4+9)=f(13).$
$f(18)=f(12+6)=f(72)=f(9+8)=f(17).$
$f(p)=f(p-8+8)=f(8(p-8))=f(4+2(p-8))=f(2p-12)=f(2(p-6)).$ Nota de que un número primo estrictamente menor que $p$ debe dividir $p-6,$ y que este no puede ser $2$ o $3$ (ya que esto significaría $p$ es divisible por $2$ o $3$, respectivamente). Pero a partir de este primer $q$ debe ser $\leq\sqrt{p-6},$ $2(p-6)/q\geq 2\sqrt{p-6}\geq 2\sqrt{10}\geq 6,$ y por lo tanto $f(2(p-6))=f(q+2(p-6)/q).$ Tenemos que mostrar que $q+2(p-6)/q<p$, pero este es el caso si y sólo si $q^{2}+2(p-6)<pq,$ si y sólo si $q\in[(p-\sqrt{p^2-8p+48})/2,(p+\sqrt{p^2-8p+48})/2]$. Tenga en cuenta que$p\geq 17,$$0\leq 8/p-48/p^{2}\leq 8/p<1/2$, $e^{-(3/2)x}\leq 1-x$ todos los $0\leq x\leq 1/2.$ \begin{align*}\frac{1}{2}(p-\sqrt{p^{2}-8p+48})&=\frac{p}{2}(1-\sqrt{1-8/p+48/p^{2}})\\&\leq\frac{p}{2}(1-\sqrt{e^{-(3/2)(8/p-48/p^{2})}})\\&=\frac{p}{2}(1-e^{-(3/4)(8/p(1-6/p))})\\&=\frac{p}{2}(1-e^{-6/p(1-6/p)}),\end {align*} que tiene una aproximación de Taylor que nos enlaza con el término-a-término valor absoluto y, a continuación, utilice el hecho de que $|1-6/p|\leq 1$, para obtener \begin{align*}\frac{p}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k!}\left(\frac{6}{p}\left(1-\frac{6}{p}\right)\right)^{k}&\leq\frac{p}{2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}\left(\frac{6}{p}\right)^{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3}{k(k-1)!}\left(\frac{6}{p}\right)^{k-1}\\&\leq\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3}{(k-1)!}\left(\frac{6}{p}\right)^{k-1}\leq 3e^{6/p}\\&\leq 3e^{6/17}<4.5,\end{align*} por lo tanto sabemos que $q$ es mayor que este límite inferior ya, ya $q\geq 5.$ Del mismo modo, $\frac{p}{2}(1+\sqrt{1-8/p+48/p^{2}})\geq \frac{p}{2}(1+e^{-6/p(1-6/p)})\geq \frac{p}{2}\geq\sqrt{p-6}$, la última obligado holding si y sólo si $p^{2}\geq 4p-24,$, lo cual es cierto siempre que $p\geq 4,$ que es cierto. Pero ya sabemos que $q\leq\sqrt{p-6},$ lo que demuestra que $q+2(p-6)/q<p.$
Esto reduce el problema a mostrar que los números $n=9,10,\ldots,15$ todas satisfacer $f(n)=f(8).$ Desde $9$ $10$ ya han demostrado, esto deja a $n=11,12,13,14,$ $15.$
- $f(11)=f(5+6)=f(30)=f(10+3)=f(13).$
- $f(12)=f(6+6)=f(36)=f(4+9)=f(13)=f(8+5)=f(40)=f(4+10)=f(14)$ $f(15)=f(50)=f(25+25)=f(625)=f(600+25)=f(1500)=f(115)=f(23+5)=f(28)=f(7+4)=f(11)$
- $f(13)=f(7+6)=f(42)=f(10+32)=f(320)=f(80+4)=f(84)=f(21+4)=f(25)=f(10)$
Esto completa la prueba.
