Se $XZ$ $YZ$ independiente si $X$, $Y$ y $Z$ son independientes?

Question

Deje $X$ $Y$ ser independiente de las variables aleatorias. Deje $Z$ ser una variable aleatoria tal que $Z$ $X$ son independientes, $Z$ $Y$ son independientes. Son variables aleatorias $XZ$ $YZ$ independiente?

Answer 1

Supongamos que $X$ $Y$ son independientes de las variables aleatorias, ambos de los cuales son iguales a 1 con probabilidad 1, y que $Z$ es independiente de $X,Y$ $Z=1$ con una probabilidad de $\frac{1}{2}$, $Z=-1$ con una probabilidad de $\frac{1}{2}$.

A continuación,$\mathbb{P}(XZ=-1,YZ=1)=\mathbb{P}(Z=-1,Z=1)=0$, mientras que $\mathbb{P}(XZ=-1)\mathbb{P}(YZ=1)=\frac{1}{4}$. Por lo $XZ$ $YZ$ no son independientes.

Answer 2

Vamos $X$, $Y$, $Z$ ser independiente, con $X$ $Y$ tener un valor distinto de cero significa.

Reclamo: $XZ$ $YZ$ son independientes si y sólo si $Z$ es constante.

Prueba: Si $XZ$ $YZ$ son independientes, entonces $$E(XZ)E(YZ)=E(XZYZ).\tag1$$ Puesto que el lado izquierdo de (1) es igual a $E(X)E(Z)E(Y)E(Z)$, mientras que el lado derecho de (1) es igual a $E(X)E(Y)E(Z^2)$, debemos tener $\left( E(Z)\right)^2=E(Z^2)$. El recíproco es inmediato.

Answer 3

Este ejemplo funciona también asumiendo $X$ $Y$ no constante.

Deje $\Omega=\{1,2,...,16\}$ con una distribución uniforme.

$A_1=\{1,2,3,4\}$, $A_2=\{1,5,6,7\}$, $A_3=\{1,8,9,10\}$

entonces para cualquier pareja $A_i$, $A_j$ $$ P(A_i\cap A_j)=P (a\{1\})=\frac 1 {16}=\frac 4 {16} \times \frac 4 {16} =P(A_i)P(A_j) $$ por lo $Z=\chi_{A_1}$ (enfunción del indicador de $A_1$) es independiente en ambos $X=\chi_{A_2}$$Y=\chi_{A_3}$, y también se $X$ $Y$ son independientes.

Por otro lado $ZX=\chi_{A_1}\chi_{A_2}=\chi_{A_1\cap A_2}=\chi_{\{1\}}$$ZY=\chi_{A_1}\chi_{A_3}=\chi_{A_1\cap A_3}=\chi_{\{1\}}$, por lo que son la misma variable aleatoria $\chi_{\{1\}}$ y desde $P(\{1\})= \frac 1 {16}$ no puede ser independientes.

Answer 4

Deje $X,Y,Z$ ser mutuamente independientes de Bernoulli variables con $E(X)=a\gt0,\ E(Y)=b\gt0,\ E(Z)=c\gt0.$, Entonces: $$E(XZ\cdot YZ)=E(XYZ^2)=E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)=abc.$$ $$E(XZ)E(YZ)=E(X)E(Z)E(Y)E(Z)=abc^2.$$ Si $c\lt1$ $E(XZ\cdot YZ)\gt E(XZ)E(YZ),$ donde $XZ$ $YZ$ no son independientes.