La intercambiabilidad a través de Funciones Simétricas

Question

Hay tres formas de definir el intercambiables $\sigma$-algebra de un proceso estocástico: uno a través simétrica funciones, otro a través de $n$-simétrica funciones y una tercera a través de la intercambiables eventos. ¿Por qué son estos tres formulaciones equivalentes?

Denotan por $S(n)$ ($n\in\mathbb{N}_1$) (con $\mathbb{N}_1=\left\{1,2,3,\dots\right\}$ el conjunto de los enteros positivos) el conjunto formado por todos los bijections $\rho:\mathbb{N}_1\rightarrow\mathbb{N}_1$ que salen todos los números de $>n$ sin cambios.

Si $D$, $E$ no son vacía de conjuntos, $x=\left(x_1, x_2, \dots\right)\in E^{\mathbb{N}_1}$ y $\rho:\mathbb{N}_1\rightarrow\mathbb{N}_1$, $x^\rho$ se denotan $\left(x_{\rho(1)},x_{\rho(2)},\dots\right)$. Si $f:D\rightarrow E^{\mathbb{N}_1}$ y $\rho:\mathbb{N}_1\rightarrow\mathbb{N}_1$, $f^\rho:D\rightarrow E^{\mathbb{N}_1}$ se denota la función $f^\rho(x):=[f(x)]^\rho$. $f:E^{\mathbb{N}_1}\rightarrow D$ se llamará $n$-simétrica (por un determinado $n\in\mathbb{N}_1$) iff $f(x)=f(x^\rho)$ todos los $x\in E$ y $\rho\in S(n)$. $f$ se llama simétrica iff es $n$-simétrica para todos los $n\in\mathbb{N}_1$.

Deje $X=\left(X_n\right)_{n\in\mathbb{N}_1}$ ser una secuencia de objetos al azar, definida sobre el espacio medible $\left(\Omega,\mathcal{A}\right)$, cada uno toma valores en el espacio medible $\left(E,\mathcal{B}\right)$.

Si $B\in\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$ (el producto $\sigma$-álgebra), vamos a definir $B^\rho:=\left\{X^\rho\in B\right\}$ $\rho:\mathbb{N}_1\rightarrow\mathbb{N}_1$. $B$ se llama rango de lado $n$-simétrica (por un determinado $n\in\mathbb{N}_1$) iff $B^\rho=X^{-1}(B)$ por cada $\rho\in S(n)$. $B$ se llama rango de lado simétrica iff es el rango del lado del $n$-simétrica para todos los $n\in\mathbb{N}_1$. Es fácil comprobar que la colección de gama lado $n$-simétrica eventos es un sub-$\sigma$-álgebra de $\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$. Se denotará por a $\mathcal{D}_n$ y se refirió a como el rango del lado del $n$intercambiables $\sigma$-álgebra de $X$. Asimismo, es fácil ver que $\bigcap_{n=1}^\infty\mathcal{D}_n$ es la colección de gama lado simétrico de eventos, que es por lo tanto un $\sigma$-álgebra. Se denotará por a $\mathcal{D}$ y se refirió a como el rango del lado intercambiables $\sigma$-álgebra de $X$.

Con $\mathfrak{B}$ denota el campo de Borel en la línea real, definir

$$\begin{array}{lcl} \mathcal{E}_n & := & \sigma\left(\bigcup\left\{\left.\left(f\circ X\right)^{-1}\left(\mathfrak{B}\right):\right|\space f:E^{\mathbb{N}_1}\rightarrow\mathbb{R}\space\mathrm{is}\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}\space/\space\mathfrak{B}\space\mathrm{-measurable}\space\mathrm{and}\space n\mathrm{-symmetric}\right\}\right) \\ \mathcal{E} & := & \sigma\left(\bigcup\left\{\left.\left(f\circ X\right)^{-1} \left(\mathfrak{B}\right):\right|\space f:E^{\mathbb{N}_1}\rightarrow\mathbb{R}\space\mathrm{is}\space\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}\space/\space\mathfrak{B}\space\mathrm{-measurable}\space\mathrm{and}\space\mathrm{symmetric}\right\}\right) \\ \mathcal{F}_n & := & X^{-1}\left(\mathcal{D}_n\right) \\ \mathcal{F} & := & X^{-1}\left(\mathcal{D}\right) \end{array}$$

De acuerdo a Klenke (Definición de 12.6 y Observación 12.7),

1. $\mathcal{E}_n=\mathcal{F}_n$ todos los $n\in\mathbb{N}_1$ y
2. $\mathcal{E}=\bigcap_{n=1}^\infty\mathcal{E}_n=\mathcal{F}$

La colección en la que el 1 es el dominio del lado del $n$intercambiables $\sigma$-álgebra de $X$; sus miembros están en el dominio $n$-simétrica eventos de $X$. La colección en 2 es el dominio del lado intercambiables $\sigma$-álgebra de $X$, o simplemente el intercambiables $\sigma$-álgebra de $X$; sus miembros son el dominio del lado simétrica eventos de $X$, o simplemente el simétrica eventos de $X$.

Ya veo por qué la $\mathcal{E}_n\subseteq\mathcal{F}_n$ y porqué $\mathcal{E}\subseteq\bigcap_{n=1}^\infty\mathcal{E}_n\subseteq\bigcap_{n=1}^\infty\mathcal{F}_n=\mathcal{F}$. Cualquier ayuda por demostrar lo contrario los contenedores necesarios para establecer Klenke afirmaciones, a saber,$\mathcal{F}_n\subseteq\mathcal{E}_n$$\mathcal{F}\subseteq\mathcal{E}$, que será apreciado.

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Comentarios

Hay un par de alternativas posibles definiciones de canjeable $\sigma$-campo. Después de la definición de ellos, voy a explorar su relación con el $\sigma$-álgebras definido anteriormente.

La primera definición alternativa es debido a David Freedman (p. 39). Un evento $B\in\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$ será llamado rango del lado del $n$-simétrica de la 2ª clase iff $x\in B\implies x^\rho\in B$ todos los $x\in E^{\mathbb{N}_1}$ y todos los $\rho\in S(n)$. Se llama rango de lado simétrica de la 2ª clase iff es $n$-simétrica de la 2ª clase para todos los $n\in\mathbb{N}_1$. La colección de gama lado $n$-simétrica eventos de la 2ª clase (por un fijo $n\in\mathbb{N}_1$) constituye un $\sigma$-álgebra que será denotado $\mathcal{D}_n^{(2)}$ y llamó a la gama del lado del $n$intercambiables $\sigma$-álgebra de la 2ª clase. La intersección $\bigcap_{n=1}^\infty\mathcal{D}_n^{(2)}$ es la colección de gama lado simétrica eventos de la 2ª clase, que es por lo tanto un $\sigma$-álgebra que será denotado $\mathcal{D}^{(2)}$ y llamó a la gama del lado intercambiables $\sigma$-álgebra de la 2ª clase. $X^{-1}\left(\mathcal{D}_n^{(2)}\right)$ será denotado $\mathcal{F}_n^{(2)}$ y llamado el dominio $n$intercambiables $\sigma$-álgebra de la 2ª clase de $X$, sus miembros - el dominio $n$-simétrica eventos de la 2ª clase de $X$. Del mismo modo, $X^{-1}\left(\mathcal{D}^{(2)}\right)$ será denotado $\mathcal{F}^{(2)}$ y llamado el dominio del lado intercambiables $\sigma$-álgebra de la 2ª clase de $X$ (o simplemente el intercambiables $\sigma$-álgebra de la 2ª clase de $X$), sus miembros - el dominio del lado simétrica eventos de la 2ª clase de $X$ (o simplemente el simétrico de los eventos de la 2ª clase de $X$).

La segunda alternativa conjunto de definiciones que se deriva de Klenke de definición (12.1) de un intercambiables secuencia de objetos al azar sobre un espacio de probabilidad. Supongamos, entonces, que una medida $\mu$ se define en $\left(\Omega,\mathcal{A}\right)$ y denotan por $\mu_X$ de su distribución, es decir, la medida inducida en $\left(E^{\mathbb{N}_1},\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}\right)$$X$. Para cada una de las $\rho\in\mathbb{N}_1\rightarrow\mathbb{N}_1$ escritura $\mu^\rho:=\mu_{X^\rho}$, es decir, la medida inducida en $\left(E^{\mathbb{N}_1},\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}\right)$$X^\rho$. A continuación, $B\in\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$ será llamado un rango de lado $n$-simétrica caso de la 3ra clase iff $\mu_X(B)=\mu^\rho(B)$ todos los $\rho\in S(n)$ (fija de $n\in\mathbb{N}_1$). No será llamado un rango lateral simétrica caso de la 3ra clase iff es una $n$-simétrica caso de la 3ra clase para todos los $n\in\mathbb{N}_1$. La recopilación de toda la gama de lado $n$-simétrica eventos del 3er tipo (fija de $n\in\mathbb{N}_1$) $\sigma$- álgebra que será denotado $\mathcal{D}_n^{(3)}$ y llamó a la gama del lado del $n$intercambiables $\sigma$-álgebra de la 3ra clase. $\bigcap_{n=1}^\infty\mathcal{D}_n^{(3)}$ es la colección de gama lado intercambiables eventos de la 3ra clase, que es por lo tanto un $\sigma$-álgebra que será denotado $\mathcal{D}^{(3)}$ y llamó a la gama del lado intercambiables $\sigma$-álgebra de la 3ra clase. Un "dominio-lado ($n$-)intercambiables $\sigma$-álgebra del 3er tipo" no se define.

Es interesante notar que la definición de $\mathcal{D}^{(2)}$ no hace uso de cualquiera de las $X$ o $\mu$, la definición de $\mathcal{D}$ se basa en la $X$, pero no en $\mu$ y la definición de $\mathcal{D}^{(3)}$ se basa en la $X$$\mu$.

Es evidente que $\mathcal{D}_n^{(2)}\subseteq\mathcal{D}_n\subseteq\mathcal{D}_n^{(3)}$ y $\mathcal{D}^{(2)}\subseteq\mathcal{D}\subseteq\mathcal{D}^{(3)}$. Del mismo modo, $\mathcal{F}_n^{(2)}\subseteq\mathcal{F}_n$$\mathcal{F}^{(2)}\subseteq\mathcal{F}$.

También es fácil comprobar que

$$\begin{array}{lcl} \mathcal{D}_n^{(2)} & = & \bigcup\left\{\left.f^{-1}\left(\mathfrak{B}\right):\right|\space f:E^{\mathbb{N}_1}\rightarrow\mathbb{R}\space\mathrm{is}\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}\space/\space\mathfrak{B}\space\mathrm{-measurable}\space\mathrm{and}\space n\mathrm{-symmetric}\right\} \\ \mathcal{D}^{(2)} & = & \bigcup\left\{\left.f^{-1} \left(\mathfrak{B}\right):\right|\space f:E^{\mathbb{N}_1}\rightarrow\mathbb{R}\space\mathrm{is}\space\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}\space/\space\mathfrak{B}\space\mathrm{-measurable}\space\mathrm{and}\space\mathrm{symmetric}\right\} \end{array}$$

Por lo tanto $\mathcal{E}_n=\mathcal{F}_n^{(2)}$ $\mathcal{E}=\mathcal{F}^{(2)}$

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Referencias

1. Klenke, Achim. "La Teoría De La Probabilidad: Un Curso Completo", 2008
2. Freedman, David. "Cadenas De Markov", 1971

Answer 1

Fijar un $n\in\mathbb{N}_1$. Voy a demostrar que $\mathcal{F}_n\subseteq\mathcal{E}_n$. La proposición $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{E}$ puede ser demostrado de forma análoga. Desde $\mathcal{F}_n^{(2)}=\mathcal{E}_n$, es suficiente para mostrar que $\mathcal{F}_n\subseteq\mathcal{F}_n^{(2)}$. A la luz de las igualdades de $\mathcal{F}_n=X^{-1} \left(\mathcal{D}_n\right)$ and $\mathcal{F}_n^{(2)}=X^{-1} \left(\mathcal{D}_n^{(2)}\right)$, this amounts to showing that to every $B\in\mathcal{D}_n$ there's some $B'\in\mathcal{D}_n^{(2)}$ such that $X^{-1}(B)=X^{-1}(B')$.

Voy a proceder de la siguiente manera. Para cada conjunto de $A\in E^{\mathbb{N}_1}$ (no necesariamente medibles) voy a definir un conjunto $\overline{A}\in E^{\mathbb{N}_1}$ llama la $n$-simétrica cierre de $A$o, ya $n$ es fijo, simplemente el simétrico de cierre de $A$. A continuación, voy a mostrar que $B':=\overline{B}$ satisface el requisito mostrando que

1. Si $A\in\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$, $\overline{A}\in\mathcal{D}_n^{(2)}$, es decir,

   a) Para todos los $x\in\overline{A}$, $x^\rho\in\overline{A}$ para todos los $\rho\in S(n)$

   b) $\overline{A}\in\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$

2. Si $A\in\mathcal{D}_n$, $X^{-1}(A)=X^{-1}\left(\overline{A}\right)$

Voy a empezar con un auxiliar de definición. Un conjunto $A\in E^{\mathbb{N}_1}$ será llamado $n$-simétrica (o simplemente simétrica, ya que $n$ es fijo) iff $\forall x\in E^{\mathbb{N}_1}\forall\rho\in S(n), x\in A\implies x^\rho\in A$.

Es fácil comprobar que si $\mathcal{C}$ es una colección de simétrica de conjuntos, $\bigcap\mathcal{C}$ es simétrica. Dado $A\in E^{\mathbb{N}_1}$, $n$-simétrica cierre de $A$, para ser denotado $\mathrm{SymClo}_n{A}$, se define como el menor $n$-simétrica conjunto que contiene $A$: $\mathrm{SymClo}_n{A}:=\bigcap\left\{B\in E^{\mathbb{N}_1}\left|:\space A\subseteq B,\space B\space\mathrm{is}\space n\mathrm{-symmetric}\right.\right\}$. Desde $n$ es fijo, vamos a simplificar la notación y escribir $\overline{A}:=\mathrm{SymClo}_n(A)$. Tenga en cuenta que $A\subseteq\overline{A}$ $\overline{A}$ es simétrica. Por tanto, su propiedad 1a es verificada.

Es fácil comprobar la siguiente caracterización de $\overline{A}$: $x\in\overline{A}\iff\exists\rho\in S(n),\space x^{\rho}\in A$. A partir de este, a la luz del hecho de que

$$\pi_\rho:E^{\mathbb{N}_1}\rightarrow E^{\mathbb{N}_1},\space\space\pi_\rho(x):=x^\rho$$

es $\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}\space/\space\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$-medibles para todos los $\rho\in S(n)$, como se puede verificar con facilidad, obtenemos que si $A\in\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$, $\overline{A}=\bigcup_{\rho\in S(n)}\pi_\rho^{-1}(A)\in\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$. Por tanto, su propiedad 1b es verificada.

Finalmente, a partir de la misma caracterización de la siguiente manera la propiedad 2. De hecho, vamos a $A\in\mathcal{D}_n$ y supongamos que al contrario que $X^{-1}(A)\subsetneq X^{-1}\left(\overline{A}\right)$. Deje $\omega\in X^{-1}\left(\overline{A}\right)\backslash X^{-1}(A)$. Deje $y\in\overline{A}\backslash A$ tal que $y=X(\omega)$. A partir de la caracterización de la propiedad, hay un poco de $\rho\in S(n)$ tal que $y':=y^\rho\in A$. A continuación,$X^\rho\left(\omega\right)=y'$. Pero entonces, por la definición de $\mathcal{D}_n$, $\omega\in X^{-1}(A)$, una contradicción.

Es interesante notar que aunque$\mathcal{D}_n^{(2)}\subseteq\mathcal{D}_n$$X^{-1}\left(D_n\right)=X^{-1}\left(\mathcal{D}_n^{(2)}\right)$, en general $\mathcal{D}_n^{(2)}\neq\mathcal{D}_n$. Por ejemplo, si $X$ es constante, $X=c$, que cualquier $\otimes_{n=1}^\infty\mathcal{B}$medible de un conjunto que contiene a $c$ pertenece a $\mathcal{D}_n$, pero sólo el simétricos pertenecen a $\mathcal{D}_n^{(2)}$.