Integral que involucra inversa de a $x^x$

Question

Mi hermano me dio el siguiente problema:

Deje $f:[1;\infty)\to[1;\infty)$ ser tal que para $x≥1$ tenemos $f(x)=y$ donde $y$ es la solución única de $y^y=x$. A continuación, calcular: $$ \int_0^e f(e^x)dx $$ No podía averiguar algo útil, por lo que cualquier ayuda es muy apreciada. Creo que tiene el problema de algún concurso, pero no sé, a partir de la cual.

Answer 1

Primero de todo tenemos que solucionar $y^y=x$$y$. El uso de técnicas a partir de aquí, obtenemos

$$f(x)=y=\frac{\ln x}{W(\ln x)},$$

donde $W$ es la función W de Lambert.

Ahora si $x>0$, luego

$$f(e^x)=\frac{x}{W(x)}.$$

Formulario de aquí tenemos que saber, que

$$\int \frac{x}{W(x)} \, dx = \frac{x^2(2W(x)+1)}{4W^2(x)} + C.$$

Esta integral proviene de una difícil sustitución.

Entre el $0$ $e$ integral de los límites que tiene el valor

$$\int_0^e f(e^x) \, dx = \int_0^e \frac{x}{W(x)} \, dx = -\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^2.$$