Primer Método
Vamos $$\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^\infty f(t)\operatorname{e}^{-xt}\operatorname{d}t=F(x)$$ be the Laplace transform of $f(t)$.
Para$f(t)=\sin(at)u(t)$, luego tenemos a $$F(x)=\int_0^\infty \sin(at)\operatorname{e}^{-xt}\operatorname{d}t=\frac{a}{x^2+a^2}.$$
Recordando que $\mathcal{L}\{t^n f(t)\}=(-1)^n F^{(n)}(x)$ hemos
$$\begin{align}
\frac{(-1)^nF^{(n)}(x)}{a}=\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)^{(n)}&=\frac{(-1)^n\mathcal{L}\{t^n f(t)\}}{a}=\frac{(-1)^n}{a}\int_0^\infty t^n \sin(at)\operatorname{e}^{-xt}\operatorname{d}t\\
&=\frac{(-1)^n}{2ia}\left[\int_0^\infty t^n \operatorname{e}^{-(x-ia)t}\operatorname{d}t-\int_0^\infty t^n \operatorname{e}^{-(x+ia)t}\operatorname{d}t\right]\\
&=\frac{(-1)^n}{2ia}\Gamma(n+1)\left[\frac{1}{(x-ia)^{n+1}}-\frac{1}{(x+ia)^{n+1}}\right]
\end{align}
$$
el uso de la identidad de $\sin(at)=\frac{\operatorname{e}^{iat}-\operatorname{e}^{-iat}}{2i}$ y la Función Gamma.
Para $x=a\cot{\theta},\,0<\theta<\pi,$ hemos
$$
x\pm ia=\frac{a}{\sin\theta}\operatorname{e}^{\pm i\theta}={(x^2+a^2)^{1/2}}\operatorname{e}^{\pm i\theta}
$$
y, finalmente,
$$
\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^n}{2ia}\Gamma(n+1)\frac{\left[\operatorname{e}^{+i(n+1)\theta}-\operatorname{e}^{-i(n+1)\theta}\right]}{(x^2+a^2)^{\frac{n+1}{2}}}=(-1)^n n!\frac{\sin\left((n+1)\cot^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right)} {(x^2+a^2)^{\frac{n+1}{2}}}.
$$
Segundo Método
La observación de que $$\frac{1}{x^2+a^2}=\frac{1}{x+ia}\cdot\frac{1}{x-ia}$$ and using the general Leibniz rule $$
(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \elegir k} f^{(k)} g^{(n-k)} $$ with $f(x)=\frac{1}{x+ia}$ and $g(x)=\frac{1}{x-ia}$ we have $$\frac{\operatorname{d}^n}{\operatorname{d}x^n}(x\pm ia)^{-1}=(-1)^n n!(x\pm ia)^{-(n+1)}$$
y, a continuación,
$$
\begin{align}
\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)^{(n)}&=\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k k!(x+ ia)^{-(k+1)}(-1)^{n-k} (n-k)!(x- ia)^{-(n-k+1)}\\
&=(-1)^n n!\sum_{k=0}^n (x+ ia)^{-(k+1)}(x- ia)^{-(n-k+1)}.
\end{align}
$$
Para $x=a\cot{\theta},\,0<\theta<\pi,$ hemos
$$
x\pm ia=\frac{a}{\sin\theta}\operatorname{e}^{\pm i\theta}={(x^2+a^2)^{1/2}}\operatorname{e}^{\pm i\theta}
$$
y, a continuación,
$$
\begin{align}
\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)^{(n)}
&=(-1)^n n!\left(\frac{\sin\theta}{a}\right)^{n+2}\sum_{k=0}^n \operatorname{e}^{+i(n-2k)\theta}\\
&= (-1)^n n!\left(\frac{\sin\theta}{a}\right)^{n+2}\operatorname{e}^{+i n\theta}\frac{1-\operatorname{e}^{-2i\theta(n+1)}}{1-\operatorname{e}^{-2i\theta}}
\end{align}
$$
el uso de la suma geométrica $ \sum_{k=0}^{n} z^k = \frac{1-z^{n+1}}{1-z} $$z=\operatorname{e}^{-2i\theta}$.
El uso de Euler la identidad de $\operatorname{e}^{+i\varphi}-\operatorname{e}^{-i\varphi}=2i\sin\varphi$ y multiplicando y dividiendo por $a\operatorname{e}^{i\theta}$ obtenemos
$$
\begin{align}
\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)^{(n)}
&= (-1)^n n!\left(\frac{\sin\theta}{a}\right)^{n+2}\frac{a\operatorname{e}^{i\theta}}{a\operatorname{e}^{i\theta}}\frac{\operatorname{e}^{i\theta(n+1)}-\operatorname{e}^{-i\theta(n+1)}}{\operatorname{e}^{i\theta}-\operatorname{e}^{-i\theta}}\\
&=(-1)^n n!\left(\frac{\sin\theta}{a}\right)^{n+2}\frac{a}{\sin\theta}\frac{1}{a}\sin((n+1)\theta)\\
&=(-1)^n n!\frac{\sin\left((n+1)\cot^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right)}{a(x^2+a^2)^{\frac{n+1}{2}}}.
\end{align}
$$
El Tercer Método
Vamos a ser $$f(x)=\frac{1}{x^2+a^2}=\frac{1}{a^2}\frac{1}{1+t^2}=\frac{1}{a^2}\psi(t).$$ Observe that $$\frac{\operatorname{d}^n f(x)}{\operatorname{d}x^n}=\frac{1}{a^{n+2}}\frac{\operatorname{d}^{n+1} \psi(t)}{\operatorname{d}t^{n+1}}$$ where $\psi(t)=\arctan(t)$.
Poner a $\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ $n$th-derivado de la $\psi(t)$ es
$$
\psi^{(n)}(t)=(-1)^{n-1}(n-1)!\el pecado^n\theta\sin(n\theta)\tag 1
$$
La existencia de los derivados de la siguiente manera a partir de la analiticidad de $\arctan t$ sobre la línea real. La prueba de la fórmula (1) es por inducción matemática. Claramente, la (1) es verdadera
para $n = 1$. Supongamos que el (1)es verdadera para $n = k$; es decir, suponga que
$$
\psi^{(k)}(t)=(-1)^{k-1}(k-1)!\el pecado^k\theta\sin(k\theta)\tag 2
$$
Vamos a demostrar que (1) es verdadera para $n = k + 1$ siempre es cierto para $n = k$.
La diferenciación de ambos lados de (2) con respecto a $t$, y observando que $\frac{\operatorname{d} \theta}{\operatorname{d}t}=-\sin^2\theta$ da
$$\frac{\operatorname{d}\psi^{(k)}(t)}{\operatorname{d}t}=(-1)^{k}k!\sin^{k+1}\theta[\cos\theta\sin(k\theta)+\cos(k\theta)\sin\theta]=(-1)^{k}k!\sin^{k+1}\theta\sin((k+1)\theta)$$
que es $$\psi^{(k+1)}(t)= (-1)^{k}k!\sin^{k+1}\theta\sin((k+1)\theta)$$ so the (1) is true for any $n\ge 1$.
Así tenemos
$$
\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)^{(n)}=\frac{1}{a^{n+2}}\psi^{(n+1)}(t)=\frac{1}{a^{n+2}}(-1)^{n}n!\sin^{n+1}\theta\sin((n+1)\theta)
$$
y la observación de que $\frac{\sin\theta}{a}=\frac{1}{a\sqrt{1+t^2}}=\frac{1}{(x^2+a^2)^{1/2}}$ finalmente obtenemos
$$
\left(\frac{1}{x^2+a^2}\right)^{(n)}=(-1)^n n!\frac{\sin\left((n+1)\cot^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)\right)} {(x^2+a^2)^{\frac{n+1}{2}}}.
$$
