Confundido por Calc II pregunta sobre derivado de las integrales racionales

Question

Así que aquí está la pregunta:

Si $f$ es una función cuadrática tal que $f(0) = 1$ $\int \frac{f(x)}{x^2(x+1)^3}\,dx$ es una función racional, encontrar el valor de $f'(0)$.

Lo que he hecho hasta ahora es tratar de resolver la integral usando fracciones parciales es decir,

$\frac{f(x)}{x^2(x+1)^3} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{(x+1)} + \frac{D}{(x+1)^2} + \frac{E}{(x+1)^3}$ Multiplicar el denominador de la LHS, para obtener:

$f(x) = Ax(x+1)^3 + B(x+1)^3 + Cx^2(x+1)^2 + Dx^2(x+1) + Ex^2$ al $x = 0$ lo $B=1$.

En este momento estoy atascado. Traté de resolver para el resto de variables, pero se pone increíblemente complicado. Pregunto si alguien tiene una mejor estrategia para resolver el problema.

Gracias.

Answer 1

Usted tiene $f(x)=ax^2+bx +c$. Que $f(0)=1$ da $c=1$. Tenemos $f'(x)=2ax+b$; y por lo $f'(0)=b$.

El integrando puede ser escrito como $$ {ax^2+ f'(0)x+1\sobre x^2(x+1)^3} = {A\sobre x\vphantom{ )^2}}+{B\sobre x^2\vphantom{ )^2}}+ {C\(x+1)\vphantom{ )^2}}+{D\(x+1)^2}+{E\(x+1)^3}. $$

Aquí está la importante observación: Si la antiderivada de la anterior es una función racional, entonces $A=C=0$ (de lo contrario, se contienen logaritmos).

Por lo tanto, $$ {ax^2+ f'(0)x+1\sobre x^2(x+1)^3} = {B\\vphantom{(^2} x^2}+ {D\(x+1)^2}+{E\(x+1)^3}; $$ o, $$ {ax^2+ f'(0)x+1 } = {B }(x+1)^3+ {D }x^2(x+1)+{E }x^2. $$

Establecimiento $x=0$ en la anterior, le $B=1 $.

Establecimiento $x=-1$ en la anterior, le $E=a-f'(0)+1$.

Además, la comparación de la $x^3$ términos, $B=-D$.

Así:

$$ \eqalign{ & { ax^2+ f'(0)x+1 }\ =\ (x+1)^3 - x^2(x+1)+{ (a-f'(0)+1)}x^2\cr \ffi& \color{color granate}{ax^2}+ f'(0)x+1\ =\ (\color{verde oscuro}{x^3}+\color{darkblue}{3x^2}+3x+1) \color{verde oscuro}{-x^3}\color{darkblue}{-x^2}+ \color{color granate}{ax^2} +({1-f'(0))}x^2 \cr \ffi&{ \hphantom{ax^2+} f'(0)x+1 }\ =\ 2x^2+3x+1+ \bigl (1 -f'(0)\bigr)x^2 \cr \ffi& { \hphantom{ax^2+} f'(0)x+1 }\ =\ \bigl(3 -f'(0)\bigr)x^2 +3x+1; } $$ de donde, $f'(0)=3$.