Demostrar que $\int_0^{\pi/2} \cos^{p+q-2}(\theta) \cos((p-q)\theta)d\theta = \frac{\pi}{(p+q-1)2^{p+q-1}B(p,q)}$

Question

¿Alguien sabe cómo demostrar esta identidad?

$$\int_0^{\pi/2} \cos^{p+q-2}(\theta) \cos((p-q)\theta)d\theta = \frac{\pi}{(p+q-1)2^{p+q-1}B(p,q)}\quad p+q>1,q<1$$

$B(x,y)$ denota la Función Beta. Estoy confundido porque el resultado contiene beta de la función en el denominador. Me hizo uso de cauchy de la beta integral, pero mi amigo dice que hay otro método que utiliza el contorno de la integración. No lo puedo entender.

Answer 1

EDIT: La respuesta que me dieron en este hilo es terriblemente malo. Me dio una mucho mejor respuesta en una mucho más reciente hilo que Alexis ha vinculado en un comentario al post original.

$ $

Usted debe estar leyendo el mismo libro que yo soy. Y por favor, comparta su enfoque.

El contorno enfoque de integración es la integración de $z^{p-q-1} \left(z-\frac{1}{z} \right)^{p+q-2}$ todo el contorno cerrado que consiste en la mitad derecha del círculo de $|z|=1$ y la línea vertical del segmento de$i$$-i$.

Hay puntos de ramificación en $z=0,i$, e $-i$ al $p-q-1$ $p+q-2$ no son enteros. Para definir el estándar de cortes y sangría en el contorno y en esos puntos.

Las condiciones sobre los parámetros evitar el contorno de la integral a partir de la voladura en el límite (que tuve algunas dificultades que muestra), en particular, que impiden que haya de ser un polo de orden mayor que 1 (o en realidad, cualquier polo en todos) en el origen al $p-q-1$ $p+q-2$ son enteros.

Y al parecer, después de la evaluación, se puede argumentar que las restricciones de los parámetros puede ser aflojado.