Deje $X\overset{f}\to S$ ser un piso de morfismos de los esquemas, y $S=\operatorname{Spec}(k)$ por un algebraicamente cerrado campo de $k=\bar{k}$. Estoy interesado, por el momento, con los esquemas $X$ correspondiente a suavizar las curvas.
Asumir la functors $\operatorname{Div}_{X/S}^d$, e $\operatorname{Pic}_{X/S}^d$ son representables, y deje $X_d$ $W_d$ denotar la respectiva representación de esquemas (para una definición de los functors véase, por ejemplo,"Kleiman - La Picard esquema" en las páginas 17 y 23, pero creo que no es crucial para el siguiente).
Yo derivados (el uso de los hechos conocidos) una descripción de la tangente gavilla de la $d$-componente de la Picard esquema de $W_d$. Sin embargo, no me siento muy segura con la técnica de la maquinaria de la geometría algebraica, por lo que mi prueba es probablemente no es del todo correcto.
Podría usted por favor, darle un vistazo?
Cualquier ayuda/comentario/sugerencia sería muy apreciada!
La proposición: Deje $\pi:X\times X_d \to X_d$ natural y proyección de $u:X_d\to W_d$ el de Abel Jacobi mapa de titulaciones de $d$. A continuación, las gavillas $X_d$ $$ u^* T_\bullet W_d \quad\text{and}\quad R^1 \pi_* \mathcal{O}_{X\times X_d} $$ son isomorfos, y que coinciden con la constante gavilla $X_d$ con fibras de $H^1(\mathcal{O}_X)$.
Referencias utilizadas en la prueba (por resultados básicos que usted probablemente ya sabe):
- $[BLR]$ $=$ Bosch, Lutkebohmert, y Raynaud - Nerón Modelos
- $[HART]$ $=$ Robin Hartshorne - Geometría Algebraica
Prueba:
Primero de todo nos damos cuenta de que hemos isomorphisms $$ T_0 \operatorname{Pic}_{X/S} \cong R^1f_* \mathcal{O}_X \cong H^1(X, \mathcal{O}_X),$$ donde el primero es el contenido del Teorema 1 de $[BLR]$, y el segundo se sigue de la evidente identidad de functors $f_*\square \equiv \Gamma(X,\square)$.
Desde $\operatorname{Pic}_{X/S}$ es un grupo de la variedad de su tangente gavilla es constante, con fibras de $T_0\operatorname{Pic}_{X/S} \cong H^1(X, \mathcal{O}_X)$. Lo mismo es cierto si nos restringimos a la subscheme $W_d$: La tangente gavilla $ T_\bullet W_d $ es la constante gavilla con fibras de $H^1(X,\mathcal{O}_X)$$W_d$.
En realidad, también se $R^1 \pi_* \mathcal{O}_{X\times X_d}$ es constante, con fibras de $H^1(X, \mathcal{O}_X)$. Para ver esto consideremos el diagrama de fibra
y aplicar la Proposición 9.3 (página 255) de $[HART]$ a la estructura de la gavilla $\mathcal{O}_X$. Tenemos $$ R^1 \pi_* \mathcal{O}_{X\times X_d} \cong g^* \left( R^1f_*\mathcal{O}_X \right) \cong g^* H^1(X,\mathcal{O}_X), $$ de la que podemos deducir que el $R^1 \pi_* \mathcal{O}_{X\times X_d}$ es la constante de gavilla en $X_d$ con fibras de $H^1(X,\mathcal{O}_X)$.
A la conclusión de que es lo suficiente como para notar que $u: X_d \to W_d$ es un surjective mapa de regímenes, así que a partir de la descripción anterior de $T_\bullet W_d$ $R^1 \pi_* \mathcal{O}_{X\times X_d}$ como constante gavillas de ello se sigue que $$ u^* T_\bullet W_d \cong R^1 \pi_* \mathcal{O}_{X\times X_d}. $$
