Encuentra todas las fracciones que pueden escribirse simultáneamente de las formas $\frac{7k-5}{5k-3}$ y $\frac{6l-1}{4l-3}$
para algunos números enteros $k,l$ .
Por favor, comprueben mi respuesta y díganme si es correcta o no....
$$\frac{43}{31},\frac{31}{27},1,\frac{55}{39},\frac{5}{3},\frac{61}{43},\frac{19}{13},\frac{13}{9}$$
$$\frac{7k-5}{5k-3}=\frac{6l-1}{4l-3}$$
$$28kl-20l-21k+15=30kl-18l-5k+3$$
$$2kl+2l+16k-12=0$$
$$kl+l+8k-6=0$$
tampoco:
$$l(1+k)=2(3-4k)$$ así que $$l=2\frac{3-4k}{1+k}$$
o:
$$k(l+8)=6-l$$
así que
$$k=\frac{6-l}{l+8}$$
Vamos con esta segunda para complementar la otra respuesta.
Entonces $$k=-\frac{l-6}{l+8}=-\left(\frac{l+8-14}{l+8}\right)=-\left(1-\frac{14}{l+8}\right)$$
Queremos $l+8=\pm(1,2,7,14)$
Así que $l=-7,-9,-6,-10,-1,-15,6,-22$ o más bien ordenados $$l=-22,-15,-10,-9,-7,-6,-1,6$$
A continuación, los pares $(l,k)=$ $(-22,-2)$ , $(-15,-3)$ , $(-10,-8)$ , $(-9,-15)$ , $(-7,13)$ , $(-6,6)$ , $(-1,1)$ , $(-22,-2)$ , $(6,0)$ , o que las fracciones son
$$\frac{19}{13},\frac{13}{9},\frac{61}{43},\frac{55}{39},\frac{43}{31},\frac{37}{27},1,\frac{5}{3}.$$
Parece, pues, que el preguntón se equivocó sólo en una fracción: Con respecto a $k=6$ OP tiene $\frac{31}{27}$ en lugar del valor correcto de $\frac{37}{27}$ . ¡Yo diría que el OP lo hizo bastante bien! Muy buena respuesta, snulty, merece destacarse con más votos, pero sin duda he votado al alza tu respuesta.
Espero que lo sepa, la rapidez en responder es siempre una medida de calidad. En los posts rápidos, aquellos que responden inmediatamente, sólo para editar su respuesta 10 o más veces para corregir errores, muchos necesitando explicar más, o continuar editando, de los que nos salvan otros que se tomaron el tiempo necesario para un post completo de alta calidad. Sencillamente, creo que eres tú quien más tiempo y consideración dedica a crear un post de alta calidad...
Tenemos que $$\frac{7k-5}{5k-3}=\frac{6l-1}{4l-3}\iff kl+8k+l=6.$$ Es decir, si $k\ne -1,$
$$l=2\frac{3-4k}{k+1}=-2\left(4-\frac{7}{k+1}\right)=-8+\frac{14}{k+1}.$$ Desde $l$ tiene que ser un número entero $k+1$ debe dividir $14.$ Por lo tanto, tenemos que $k\in\{-15,-8,-3,-2,0,1,6,13\}.$
Tenga en cuenta que $k\ne -1$ ya que si $k=-1$ la ecuación $kl+8k+l=6$ da $-8=6$ que no se sostiene.
Supongamos que existe un número entero $p$ que puede escribirse como $\frac{6l-1}{4l-3}$ y $\frac{7k-5}{5k-3}$ .
$$p= \frac{6l-1}{4l-3} =\frac{7k-5}{5k-3}$$
$$\implies kl+8k+l=6$$
$$\implies(k+1)l=(6-8k)\implies l=\frac{-2(4k-3)}{(k+1)}$$ .
Lo que da las siguientes soluciones enteras:
$(k,l)=(-15,-9),(-8,-10),(-3,-15),(-2,-22),(0,6),(1,-1),(6,-6),(13,7)$ . Todos estos conjuntos de valores te darán un nuevo número. Le dejo concluir ahora.
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