Encontrar el volumen de una región en el espacio tres

Question

Quiero calcular el volumen de $V$ donde V es la región

$$ V = \left\{ (x,y,z) : \left( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \right)^2 = \frac{ x }{h} \right\} $$

Tratar de:

El enfoque sería calcular

$$ \iiint_V dV$$

pero estoy teniendo tiempo duro tratando de visualizar esta región, encontrando así que los límites de integración sería difíciles. Tal vez necesitamos cambiar coordenadas. ¿Qué método funcionaría mejor aquí?

Answer 1

Una fácil manera de visualizar el objeto es el siguiente:

• Primero vamos a tomar la raíz cuadrada (seguro como el LHS es positivo).
• La ecuación admite una solución iff $x$ se encuentra en el rango $$\frac{x^4}{a^2}\leq\frac{x}{h}\iff \frac{x}{h}(\frac{hx^3}{a^2}-1)\leq 0\iff 0\leq x\leq \sqrt[3]{\frac{a^2}{h}}.$$ Para cada uno de ellos fijo $x_0$ en ese rango, nos vamos a reescribir la ecuación como $$\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=\sqrt{\frac{x_0}{h}}-\frac{x_0^2}{a^2},$$ así se obtiene una elipse en la $(x_0,y,z$) avión, cuyas diagonales dependen $x_0$.

La revisión de todos estos puntos suspensivos, se obtiene una elíptica en forma de cilindro de ancho variable (algo así como el siguiente)

Por lo tanto, yo sugiero que utilice algún tipo de cilíndrico elíptica sistema de coordenadas, y no esférica de coordenadas.

Por supuesto, si primero normalizar la ecuación, de modo que usted consigue $$(x^2+y^2+z^2)^2=c\cdot x,$$ a continuación, usted recibirá un cono (círculos en lugar de los puntos suspensivos) envuelto alrededor de la misma $x-$-eje, cuyo límite es descrito por algunos curva, algo como lo siguiente

%% ParametricPlot3D[{x, (x^2 - Sqrt[x])Cos[y], (x^2 - Sqrt[x]) El pecado[y]}, {x, 0, 1}, {y, 0, 2 Pi}] %%

Y tenga en cuenta que si usted hace esto sustitución primero, luego su forma se vuelve nada, pero un sólido de revolución, de modo que su límite de área y su volumen son fáciles de calcular.

Answer 2

Tomar la sustitución $$x=a \sin \theta \cos \phi$$ $$y=b \sin \theta \sin \phi$$ $$z=c \cos \theta $$ and this will yield the equation of the space as $% $ $a \sin \theta \cos \phi=h$

Creo que estas son coordenadas elipsoidales (aunque no estoy totalmente seguro de este nombre).

Calcular $dx$, $dy$ y $dz$, del anterior conjunto de ecuaciones de la transformación.

Ver si esto le ayuda.