Encuentre $x,y,z$ si $3^{x^4+y^2}+3^{y^4+z^2}+3^{z^4+x^2}=3^7$ .

Question

¿Cómo puedo resolver el siguiente sistema con $x,y,z$ números reales:

$$x^2+y^2+z^2=6$$ $$3^{x^4+y^2}+3^{y^4+z^2}+3^{z^4+x^2}=3^7.$$

Observo que $x=y=z=\sqrt{2}$ y creo que debe aplicar la desigualdad $AM \geq GM$ pero no sé cómo hacerlo.

Gracias :)

Answer 1

Aplicación de $AM\geq GM$ a tu segunda ecuación obtienes $$3^6\geq ({3^{x^4+y^2+y^4+z^2+z^4+x^2}})^{1/3}=(3^{x^4+y^4+z^4})^{1/3}\cdot(3^{x^2+y^2+z^2})^{1/3}=(3^{x^4+y^4+z^4})^{1/3}\cdot 3^2$$

y por lo tanto $$3^4\geq 3^{\frac{x^4+y^4+z^4}{3}}$$

Ahora sabemos que $\sqrt{\frac{x^4+y^4+z^4}{3}}\geq \frac{x^2+y^2+z^2}{3}=2$ donde la igualdad se cumple si y sólo si $x^2=y^2=z^2$ . Esto implica que $$3^4\geq 3^{\frac{x^4+y^4+z^4}{3}}\geq 3^4.$$

Entonces debemos tener $\sqrt{\frac{x^4+y^4+z^4}{3}}=\frac{x^2+y^2+z^2}{3}$ y por lo tanto $x^2=y^2=z^2=2$ . Entonces esta es su solución única.