¿En qué casos la adición de más masa a un objeto que se lanza permitiría una mayor distancia con la misma fuerza?

Question

Bien, supongamos que un objeto con masa M es lanzado con una fuerza X. Este objeto recorrería una distancia, D.

¿Cómo es posible que el aumento de M, dejando X sin cambios, provoque un aumento de D?

Por ejemplo, si lanzo un dardo nerf con toda la fuerza posible, sólo llegará hasta cierto punto. Sin embargo, si añado peso al dardo, puedo lanzarlo mucho más lejos. ¿Por qué funciona esto?

Además, ¿por qué no se aplicaría lo mismo para el dardo que se dispara desde la pistola nerf, o sí?

Creo que tiene algo que ver con la resistencia al aire y la trayectoria, ¿hay alguna fórmula que pueda utilizar para demostrarlo?

No es una tarea, sólo una discusión con un amigo. No tengo física hasta el próximo semestre.

Answer 1

Tu problema es que estás asumiendo una fuerza constante. Esto es difícil de cumplir. Ya que $F=ma$ Para mantener una fuerza constante a medida que la masa disminuye, la aceleración tiene que aumentar. Para masas pequeñas, el brazo no puede acelerar lo suficiente para generar la fuerza necesaria.

Es fácil empujar una pelota de béisbol con 10N de fuerza. Es muy difícil empujar un guisante con 10N. Puede que estés empujando con fuerza para lanzar el dardo nerf, pero la mayor parte de ese esfuerzo se destina a acelerar tu brazo. Al añadir masa, tu limitada aceleración es capaz de aplicar una mayor fuerza al dardo.

Answer 2

Dos observaciones iniciales :

1. ¿Los dardos se lanzan con la misma velocidad o la misma energía cinética?

Cuando especifica que utiliza la misma "fuerza" para lanzar ambos dardos, no está claro lo que pretende. Si se utiliza la misma fuerza en newtons sobre la misma distancia, los dos dardos deberían adquirir la misma energía cinética pero diferentes velocidades. Sin embargo, como señala BowlofRed, la capacidad de lanzar objetos está limitada por la masa del brazo. Si la masa del brazo es mucho mayor que la masa del dardo, se imparte muy poca KE al dardo. Todos los objetos ligeros se lanzan con aproximadamente la misma velocidad, que está limitada por el tamaño y la fuerza del brazo y la técnica utilizada. Véase Física de los lanzamientos por encima del brazo .

2. El efecto de la gravedad es un factor de complicación aquí, así que vamos a ignorarlo.

Si hubiera gravedad pero no hubiera resistencia del aire, el objeto lanzado con mayor velocidad llegaría más lejos. El alcance de un proyectil sin resistencia es proporcional a $v^2$ y es independiente de la masa. Si existe tanto la gravedad como la resistencia del aire, la situación se vuelve más compleja, excepto cuando los objetos se lanzan casi en línea recta o cerca de la horizontal. Los dardos suelen lanzarse cerca de la horizontal.

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Con resistencia al aire (arrastre) pero sin gravedad

Para un objeto de la misma forma y tamaño, que se desplaza a la misma velocidad, la fuerza de arrastre $F$ causada por la resistencia del aire es la misma. Depende del área de la sección transversal pero no de la masa. Para los objetos lanzados, la fuerza de arrastre es aproximadamente proporcional a la velocidad en el aire: $F=-kv$ .

La ecuación del movimiento es $a=F/m$ para que $\frac{dv}{dt}=-(k/m)v$ que tiene la solución
$v(t)=v_0e^{-bt}$
donde $b=k/m$ . Integrando de nuevo obtenemos
$x(t)=(v_0/b)(1-e^{-bt})$ .
La distancia recorrida después de mucho tiempo es
$x(\infty)=v_0/b=mv_0/k$ .

El dardo que más se desplaza depende del momento inicial $mv_0$ .

1. Lanza con la misma KE

Aquí $\frac12mV^2=\frac12Mv^2$ (el dardo más ligero tiene mayor velocidad) así que $V/v=\sqrt{M/m}$ . La relación de distancias es
$x_M/x_m=Mv/mV=V/v=\sqrt{M/m}$ .
El dardo más pesado viaja más lejos, a pesar de que el dardo más ligero comenzó con mayor velocidad.

2. Lanzamiento con la misma velocidad

El resultado anterior indica que el dardo más pesado viajará más lejos aún, porque el dardo más ligero comienza con menos KE.

Aquí $V=v$ por lo que la relación de distancias es
$x_M/x_m=Mv/mV=M/m$ .
El dardo más pesado viaja aún más lejos que cuando los dardos tienen el mismo KE.

Conclusión : En ambos escenarios el dardo más pesado viaja más lejos.

Answer 3

Un objeto lanzado tiene dos propiedades relevantes: energía y momento. Cuando se lanza un objeto ligero y otro pesado "con la misma fuerza" (y con esta fuerza aplicada a la misma distancia), tendrán la misma energía (la energía es la Fuerza por la distancia), pero diferente momento (la Fuerza por el tiempo - el objeto más pesado tardará más en ser lanzado, y adquirirá más momento).

Por otro lado, el objeto más pesado volará más lentamente. Que llegue más lejos o no depende de qué sea más importante: la gravedad o la resistencia.

Caso 1: la gravedad domina
En el caso de un objeto pequeño y pesado (como una bala de cañón), lo más probable es que domine la gravedad. En ese caso, la mayor distancia que puede alcanzar el proyectil depende de la velocidad y del ángulo de lanzamiento. Si no se tiene en cuenta la resistencia, un ángulo de lanzamiento de 45º es el que más distancia permite alcanzar, $d = \frac{v^2}{g}$ . Así que si puedes lanzar con el doble de velocidad, tu alcance aumenta 4 veces. Esto dice que si la resistencia no es un factor (por ejemplo, en la luna), entonces podrás lanzar un objeto más ligero más lejos.

Caso 2: el arrastre domina
En el caso de objetos como los dardos Nerf, la resistencia se escala con el cuadrado de la velocidad. Eso significa que si se lanza algo con el doble de velocidad, se sentirá cuatro veces más resistencia. Ahora impulso es el producto de la masa y la velocidad; y ya hemos visto que el objeto más pesado tendrá más impulso. Esto nos lleva a la interesante observación de que el objeto más pesado podrá viajar más lejos - va más despacio, y por lo tanto experimenta menos resistencia; y la fuerza de resistencia tendrá menos impacto en la velocidad que ya tiene. Por lo tanto, incluso después de que el objeto ligero haya disminuido su velocidad hasta la del objeto más pesado, seguirá disminuyendo su velocidad más rápidamente.

Por supuesto, en la vida real, hay una combinación de estos dos factores en juego, y no se puede resolver este problema analíticamente. Pero puede resolverlo numéricamente. Lo cual hice, sólo por diversión (y por ilustración).

Tomando un objeto con un diámetro de 1 cm (baja resistencia), 5 cm (resistencia media) y 20 cm (alta resistencia), y una masa que va de 20 gramos ("ligera") a 2 kg ("pesada"), "lancé" ese objeto en un ángulo de 45º con una fuerza constante durante 1 metro (poco realista, pero esas eran las condiciones que habías estipulado). Hice un pequeño ajuste de esa fuerza, calculando que el alcance de un objeto de 150 g debería ser inferior a 100 m (el lanzamiento máximo de una pelota de béisbol de 145 g es de 132 yardas). Luego tracé las trayectorias resultantes:

Aquí las trazas rojas corresponden a una masa de 50 g, verde = 150 g, azul = 250 g; y las tres curvas corresponden a un diámetro de 5 cm, 15 cm y 25 cm. Como puedes ver, una de las curvas rojas (correspondiente al objeto más ligero, de menor diámetro) es la que más lejos llega; pero a medida que añadimos más resistencia (diámetro), vuelve a caer rápidamente en la posición. En comparación, los objetos pequeños y más pesados no vuelan tan lejos; pero a medida que la resistencia se hace más importante, "ganan".

Se utilizó el siguiente código MATLAB para generar las trayectorias:

function [x, y, range] = trajectory(v, angle, mass, diameter)
C=0.5;
rho=1.2;
g = 9.81;
A = pi*diameter^2/4;
v0=v*sin(angle);

% terminal velocity equations from 
% http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Mechanics/quadrag.html
vt = sqrt(2*mass*g/(C*rho*A));
tau = vt/g;
tpeak = tau*atan(v*sin(angle)/vt);
ypeak=-vt*tau*log(cos(atan(v0/vt)));
tdown = tau*acosh(exp(ypeak/(vt*tau)));

NT=200;
% we want "enough" time; this should usually do it
% given that we don't have an analytical expression for how horizontal
% component of velocity affects the vertical time
% but we know that if there is a lot of horizontal component, it will
% quickly disappear...
tmax = 2*(tpeak+tdown);

T = linspace(0, 2*(tpeak+tdown), NT);

x=zeros(1,NT);
y=zeros(1,NT);
vx=zeros(1,NT);
vy=zeros(1,NT);
vx(1) = v*cos(angle);
vy(1) = v*sin(angle);

theta=zeros(1,NT);
theta(1)=angle;

dt = T(2)-T(1);
for ti = 1:NT-1
    V2 = vx(ti)^2 + vy(ti)^2;
    F = 0.5*rho*V2*A*C;
    Fx = -F*cos(theta(ti))*sign(vx(ti));
    Fy = -F*sin(theta(ti))*sign(vy(ti)) -mass*g;
    vx(ti+1) = vx(ti) + Fx*dt/mass;
    vy(ti+1) = vy(ti) + Fy*dt/mass;
    theta(ti+1) = atan2(vy(ti+1),vx(ti+1));
    x(ti+1) = x(ti)+0.5*(vx(ti)+vx(ti+1))*dt;
    y(ti+1) = y(ti)+0.5*(vy(ti)+vy(ti+1))*dt;
    if y(ti+1)<0, break; end
end

if(ti<NT-1)
    range = x(ti) + y(ti)*(x(ti+1)-x(ti))/(y(ti)-y(ti+1));
else
    range = x(end);
end

x=x(1:ti); y=y(1:ti);

Y el trazado de las trayectorias se hizo con:

figure
colors = {'r','g','b'};
ci=0;
for m=[0.05, 0.15, 0.25]
    ci=ci+1;
    for diam = [0.05, 0.15, 0.25]
        % constant force = constant energy
        % velocity scales with inverse square root of mass
        % scale factor is chosen to get "sensible" distances
        sf = 8;
        v = sf/sqrt(m);
        [x,y,r]=trajectory(v, pi/4, m, diam);
        plot(x,y,colors{ci})
        hold on
    end
end
xlabel 'distance (m)'
ylabel 'height (m)'
title 'tractories for different mass and drag'

Answer 4

En ambos casos, se puede aplicar la misma fuerza a través de las manos, pero gran parte de la fuerza se pierde en el caso del dardo nerf porque sólo una pequeña parte de la fuerza se transmite al dardo a través de los puntos de contacto de los dedos. El resto de la energía se disipa como en el caso de un puñetazo lanzado libremente. Además, hay una fuerza de arrastre del aire sobre el dardo que minimiza la fuerza efectiva. Es un caso similar al de lanzar un papel sosteniéndolo en un plano vertical y la fuerza es perpendicular al plano del papel. La razón de la pequeña cantidad de fuerza es que la masa del dardo nerf o del papel es muy pequeña y por lo tanto se acelera muy rápido mientras está en contacto con las manos, por lo que toma menos impulso, es decir, el contacto de la fuerza es por menos tiempo. Mientras que con una masa mayor, el tiempo de contacto aumentará, incrementando así la fuerza impulsiva y, por tanto, la energía cinética impartida.