¿Cómo elegir el método de integración para integrales que involucran potencias y cocientes de funciones trigonométricas?

Question

Necesito ayuda en estas tres integrales. Cualquier insinuación sobre qué método debe utilizar es muy apreciadas.

$$1)\ \int \frac{1}{\cos^4 x}\tan^3 x\mathrm{d}x$$ $$2)\ \int \frac{1}{\sin 2x}(3\cos x + 7\sin x)\mathrm{d}x$$ $$3)\ \int \frac{1}{\sqrt{x}}\sin^3 (3\sqrt{x})\mathrm{d}x$$

Answer 1

1) el integrando es igual a $\large\frac{\sin^3(x)}{\cos^7(x)} = \frac{(1-\cos^2(x)) \sin(x)}{\cos^7(x)}$. Reduce a dos términos que tanto se pueden convertir en $\large\frac{dz}{z^n}$ por una simple sustitución.

2) Nota $\sin(2 x) = 2 \sin(x) \cos(x)$. Con eso simplemente tiene un integral de $\sec(x)$ plus integral de $\csc(x)$.

3) probar la sustitución $z = \sqrt{x}$. Debe girar el integral en el % de forma $\sin^3(3 z) = \sin(3 z) (1 - \cos^2(3 z))$. Debe ser factible por una simple sustitución.

Answer 2

Sólo porque no fue mencionado explícitamente que creo que es digno de mencionar el número 1. El integrando es $\tan^3x\sec^4x$ que es igual a

$$ \tan^3x(1+\tan^2x)\sec^2x$$

Se integra fácilmente como el derivado de $\sec^2x$ $\tan x$.

$$ \tan^3x\sec^2x+\tan^5x\sec^2x $$