Si lo entiendo correctamente, usted quiere mostrar que si un elemento se asigna a $0$ en el límite, entonces se debe asignar a $0$ "por un tiempo limitado".
Una construcción del contacto directo con el límite es tomar la inconexión de la unión de la $M_i$, dicen que como pares ordenados $(x,i)$$i\in I$$x\in M_i$), el modulo de la relación de equivalencia
$$(x,i)\sim (y,j)\Longleftrightarrow\text{there exists }k\in I, i,j\leq k\text{ such that }f^i_k(x) = f^j_k(y).$$
A continuación, la definición de las operaciones por
$$[(x,i)] + [(y,j)] = [(f^i_k(x)+f^j_k(y),k)]$$
donde $k\in I$ es un índice tal que $i,j\leq k$; y
$$a[(x,i)] = [(ax,i)]$$
para cualquier $a\in R$.
En esta obra, los mapas de $f_i\colon M_i\to\lim\limits_{\rightarrow}M_j$ está dado por $f_i(x) = [(x,i)]$. Si $f_i(x)=[(0,i)]$, entonces, por definición de la relación de equivalencia que existe $k\in I$, $i\leq k$, tal que $f^i_k(x) = f^i_k(0) = 0$. Por lo tanto, $x$ mapas a $0$ en "un tiempo limitado".
Para interpretarlo en su definición, un elemento que ha $x$ $i$th coordinar y $0$s en otros lugares se encuentra en $N$. A continuación, hay un número finito de generadores de $N$ cuya suma es igual a este elemento. Por lo tanto, existe un conjunto finito de pares de índices, $i_1\lt j_1$, $i_2\lt j_2,\ldots, i_k\lt j_k$, y elementos de $x_{i_1,j_i}\in M_{i_1},\ldots,x_{i_k,j_k}\in M_{i_k}$ tal que
$$\delta_i(x) = \sum_{r=1}^k \bigl(\delta_{i_r}(x_{i_r,j_r}) - \delta_{j_r}(f^{i_r}_{j_r}(x_{i_r,j_r})\bigr)$$
donde $\delta_n$ representa la integración en la $n$th de coordenadas.
Aclaró/Corected. Ahora vamos a $s$ ser estrictamente mayor que todas las coordenadas que se producen. Podemos reescribir cada
$$\delta_{i_r}(x_{i_r,j_r}) - \delta_{j_r}(f^{i_r}_{j_r}(x_{i_r,j_r}))$$
como
$$\delta_{i_r}(x_{i_r,j_r}) - \delta_s(f^{i_r}_s(x_{i_r,j_r})) - \delta_{j_r}(f^{i_r}_{j_r}(x_{i_r,j_r})) + \delta_s(f^{j_r}_s(f^{i_r}_{j_r}(x_{i_r,j_r}))),$$
desde
$$\delta_s(f^{j_r}_s(f^{i_r}_{j_r}(x_{i_r,j_r}))) = \delta_s(f^{i_r}_s(x_{i_r,j_r}))),$$
de modo que podemos suponer que la $j_1=j_2=\cdots = j_r = s$.
Entonces, la combinación de cualquiera de los pares de $(i_r,s)$$(i_t,s)$$i_r=i_t$, que además puede suponer que $i_1,\ldots,i_k,s$ son parejas distintas.
Pero si todos los $i_1,\ldots,i_k,s$ son parejas distintas, y la suma es igual a la de una sola coordenada plazo $\delta_i(x)$, entonces no puede haber más de un par de $(i_1,s)$, uno de los índices es $i$, y la entrada en el otro índice es $0$. Si $i=i_1$, $x_{i_1,s} = x$ $f^{i_1}_s(x)=0$ y hemos terminado. Si $i=s$,$x_{i_1,s}=0$, lo $x=f^{i_1}_s(x_{i_1,s}) = 0$, y se realiza de nuevo.
