Conjugaciones en los isomorfismos de comparación entre la cohomología de Betti y cohomología de Rham algebraica

Question

Para un buen variedad proyectiva $X$ definido a lo largo del $k$ que admite un verdadero incrustación $\sigma:k \rightarrow \mathbb{C}$, su Betti cohomology se define por $$\begin{equation} H^*_{B,\sigma}(X):=H^*(X \times_{k,\sigma}\mathbb{C}(\mathbb{C}),\mathbb{Q}) \,, \end{equation}$$ donde $X \times_{k,\sigma}\mathbb{C}(\mathbb{C})$ es el complejo de valores de los puntos de $X \times_{k,\sigma}\mathbb{C}$.

Desde la incrustación es real, compleja conjugación actúa sobre los puntos de $X \times_{k,\sigma}\mathbb{C}(\mathbb{C})$, lo que induce a una involución $F_{\infty}$$H^*_{B,\sigma}(X)$.

El etale cohomology se define por $$\begin{equation} H^*_{et}(X)_{\ell}:=H^*(X \times_k \bar{k},\mathbb{Q}_{\ell}) \,. \end{equation}$$ No hay un estándar de comparación de isomorfismo, $I_{\ell,\bar{\sigma}}$ $$\begin{equation} I_{\ell,\bar{\sigma}}:H^*_{B,\sigma}(X) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \simeq H^*_{et}(X)_{\ell} \end{equation}$$ que depende de la elección de una extensión de $\sigma$$\bar{\sigma}:\bar{k} \rightarrow \mathbb{C}$.

A partir de un montón de referencias, en virtud de este isomorfismo, la involución $F_{\infty} \otimes 1$ corresponde a la automorphism $\bar{\sigma}^*(c) \in \text{Gal}(\bar{k}/k)$ (que actúa en etale cohomology) donde $c$ es compleja conjugación que actúa en $\bar{k}$ a través de la incrustación.

Podría alguien explicar las ideas en la prueba de esta comparación isomorfismo y la correspondencia de los dos involuciones? O dar algunas referencias?

Answer 1

Creo que usted debe primero entender el teorema de comparación en el caso de lisa variedades de más de $\mathbb{C}$ para finito de coeficientes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Para esto, usted debe consultar SGA 4, Exposé XI.

Ahora, dada una variedad lisa $X$ $\bar{k}$ (utilizando tu notaciones) y una incrustación $\sigma : \bar{k} \to \mathbb{C}$, hay un isomorfismo natural entre étale cohomology de $X$ y étale cohomology de $X_{\sigma}$ (el cambio de base de a$X$$\mathbb{C}$$\sigma$).

El resultado que usted desea (el hecho de que el complejo de la conjugación de partido) se sigue de la functoriality de los dos isomorphisms se explicó anteriormente. Deje $c$ es la compleja conjugación en $\bar{k}$ inducida por la usual compleja conjugación en $\mathbb{C}$. Dada una variedad lisa $X$$k$, hay un diagrama conmutativo $$\requieren{AMScd} \begin{CD} X_{\bar{k}} @>>> X_\mathbb{C} \\ @VVV @VVV \\ X_{\bar{k}} @>>> X_\mathbb{C} \end{CD}$$ donde las flechas verticales son dadas por $c$.