Para un buen variedad proyectiva $X$ definido a lo largo del $k$ que admite un verdadero incrustación $\sigma:k \rightarrow \mathbb{C}$, su Betti cohomology se define por \begin{equation} H^*_{B,\sigma}(X):=H^*(X \times_{k,\sigma}\mathbb{C}(\mathbb{C}),\mathbb{Q}) \,, \end{equation} donde $X \times_{k,\sigma}\mathbb{C}(\mathbb{C})$ es el complejo de valores de los puntos de $X \times_{k,\sigma}\mathbb{C}$.
Desde la incrustación es real, compleja conjugación actúa sobre los puntos de $X \times_{k,\sigma}\mathbb{C}(\mathbb{C})$, lo que induce a una involución $F_{\infty}$$H^*_{B,\sigma}(X)$.
El etale cohomology se define por \begin{equation} H^*_{et}(X)_{\ell}:=H^*(X \times_k \bar{k},\mathbb{Q}_{\ell}) \,. \end{equation} No hay un estándar de comparación de isomorfismo, $I_{\ell,\bar{\sigma}}$ \begin{equation} I_{\ell,\bar{\sigma}}:H^*_{B,\sigma}(X) \otimes_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}_{\ell} \simeq H^*_{et}(X)_{\ell} \end{equation} que depende de la elección de una extensión de $\sigma$$\bar{\sigma}:\bar{k} \rightarrow \mathbb{C}$.
A partir de un montón de referencias, en virtud de este isomorfismo, la involución $F_{\infty} \otimes 1$ corresponde a la automorphism $\bar{\sigma}^*(c) \in \text{Gal}(\bar{k}/k)$ (que actúa en etale cohomology) donde $c$ es compleja conjugación que actúa en $\bar{k}$ a través de la incrustación.
Podría alguien explicar las ideas en la prueba de esta comparación isomorfismo y la correspondencia de los dos involuciones? O dar algunas referencias?
