Simplificar el método de resolución de un problema

Question

Uno de mis compañeros del instituto me preguntó cómo se podía resolver este problema:

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$$\begin{cases} x^2+y^2=z \\ x+y+z=m \end{cases}$$

Teniendo en cuenta las ecuaciones mencionadas, hallar $m$ tal que el sistema tiene una solución única.

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Me vino a la mente un aspecto relacionado con un método numérico, dado un sistema de ecuaciones no lineales, si $\| J\| <1$ (donde $J$ denota el jacobiano) el sistema tiene un punto fijo, por lo tanto una solución única.

Pero realmente no puedo usar esto para un alumno de 12º grado, así que no tengo ni idea de cómo puedo enfocar este problema.

¿Puede sugerir otra solución?

Answer 1

La segunda ecuación puede escribirse como $z = m-x-y$ .

Sustituyendo esto en la primera ecuación se obtiene $x^2+y^2 = m-x-y$

Mueve todo hacia el lado derecho y completa el cuadrado:

$x^2+x+\dfrac{1}{4}+y^2+y+\dfrac{1}{4} = m+\dfrac{1}{2}$

$\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^2 = m+\dfrac{1}{2}$

Ahora debería ser fácil determinar qué valor de $m$ sólo da una solución.