¿Por qué este mapa es una cubierta mapa?

Question

Estoy tratando de encontrar el universal cubrir el espacio de la botella de Klein. Sé que $\mathbb R^2$ cubre la botella de Klein , pero no sé cómo probar, me encontré con esta prueba en internet:

Alguien sabe por qué este cociente mapa es una cubierta mapa o tener una solución alternativa? He encontrado esta solución un poco extraño debido a mi falta de experiencia en este tema, de hecho, soy muy principiante en esto.

Por favor, necesito ayuda

Gracias

Answer 1

Como he leído en tu comentario a Miha Habič la respuesta, usted ya ha entendido que el toro está cubierto universalmente por $\mathbb{R}^2$, por lo que queda por ver cómo el Toro cubre Klein de la superficie. En realidad, no necesitan de cuatro a tori para cubrir Klein de la superficie. Ver la foto de abajo.

Dependiendo de las técnicas disponibles para usted, hay varias maneras de prueba de que este hecho es una cubierta mapa y creo que es más apropiado para entender lo que sucede, porque esto va a producir una prueba en cualquier técnica, supongo. (De todos modos, un sencillo cálculo utilizando el indicado mapa entre el cociente de los espacios de $[0,1]^2$ homeomórficos al toro y Klein superficie definitivamente funciona.) Permítanme esbozar un lugar atípico argumento. (Es la forma en que yo pienso de ella.) Considerar el llamado de orientación (doble) de la cubierta de la (no-orientable) Klein de la superficie. Para cada colector se puede asignar un orientado a la doble cubierta y está a unos caracteriza (y definido, en realidad) por la propiedad, que las secciones locales corresponden a los locales de orientaciones. Si el colector es orientable, que acaba de ser distinto de la unión de las dos copias del colector debido a que hay una manera de pegar estos locales orientaciones a nivel mundial y hay exactamente dos de ellos. Pero en la no-orientable caso, en algún lugar, el encolado no es posible. Tomando algunos no contráctiles bucle y tratando de pegar un local de elección de la orientación paso a paso va a girar a la orientación, por lo que (en la mente) que tenemos que recorrer el bucle de dos veces para obtener la orientación que hemos empezado. La traducción de este álgebra, en nuestro caso, uno puede identificar el índice de los dos subgrupos del grupo fundamental de Klein de la superficie.

Esto no da la misma imagen, como en la pregunta, sino una imagen similar, se muestra cómo el toro doble cubre a sí mismo y la aplicación de esta doble cobertura, usted consigue las 4:1-portada de el toro más Klein superficie Olivier Bégassat sugiere en el comentario de abajo Miha Habič la respuesta.

Answer 2

Alternativamente, tal vez usted sabe cómo argumentar que $\mathbb{R}^2$ es la cobertura universal del toro. Entonces, por encolado, junto con dos copias de su fundamental polígono de la botella de Klein, se puede ver que el toro es un doble tapa de la botella de Klein. Que componen estas dos cubiertas da que el avión como la universalización de la cobertura de la botella de Klein.

Answer 3

Así, usted puede ver que esto es una cubierta mapa de los principios generales : usted tiene un grupo discreto ($\Bbb Z\oplus \Bbb Z$) actuando correctamente de forma discontinua, sin puntos fijos en un localmente compacto Hausdorff espacio de $\Bbb R^2$. Esto por sí solo es suficiente para deducir que el cociente mapa es una cubierta mapa.

A partir de la imagen que proporcionan, deduzco que la acción se verá algo como $$(1\oplus 0)\cdot (x,y)=(x+1,y)$$ $$(0\oplus 1)\cdot (x,y)=(-x,y+1)$$

EDIT: la acción es incorrecta, ya que los dos mapas no viaje, que no es sorprendente, como grupo fundamental de la botella de Klein no es conmutativa, pero es isomorfo al grupo con la presentación de $\langle a,b\mid a^2b^2=1\rangle$.

EDITAR MÁS: el grupo fundamental de La que acabo de describir es que de la conexión de la suma de dos planos proyectivos. El grupo fundamental de la botella de Klein es $\langle a,b\mid aba^{-1}b=1\rangle.$ $a\cdot(x,y)=(-x,y+1)$ $b\cdot(x,y)=(x+1,y)$ funciona esto.

Answer 4

¿Cuál es tu definición de "universal cubrir el espacio"? Tanto la Wikipedia y MathWorld decir que la característica definitoria es que se trata de una cubierta espacio que es simplemente conexa.

Es bien sabido que $\mathbb R^2$ es simplemente conectado, y ya que usted sabe que $\mathbb R^2$ cubre la botella de Klein, debe por lo tanto ser su cobertura universal.