Forma asintótica de Bessel $Y_0(x)$ para un x pequeño

Question

La parte relevante de la definición integral de $Y_0$ es

$$-\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty } e^ {-x \sinh t} \, dt$$

que debería ser asintótica a

$$\frac{2}{\pi}\big( \ln\frac x 2 + \gamma \big)$$

Donde $\gamma$ es la constante de Euler-Mascheroni. ¿Cómo puedo evaluar esa integral para x pequeña?

Bastaría con encontrar el término logarítmico, pero también me interesaría saber de dónde sale la Constante de Euler-Mascheroni.

Answer 1

La intuición es que para las pequeñas $x$ sólo la contribución para "grandes" $t$ es importante. Así, esperamos que $\sinh t \sim \tfrac12 e^{t}$ . Así que nos aproximamos $$Y_0(x) \sim - \frac2{\pi} \int_0^\infty\!dt\,e^{-x e^{t}/2}= - \frac{2}{\pi}\int_{x/2}^\infty \!dz \frac{e^{-z}}{z}. \tag{1}$$

De hecho, tenemos que $$\left|Y_0(x) +\frac2{\pi} \int_0^\infty\!dt\,e^{-x e^{t}/2}\right| \leq \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \!dt\,\left| e^{-x e^t/2} - e^{-x \sinh t} \right| = \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \!dt\, e^{-x e^t/2} \underbrace{(1- e^{-x e^{-t}/2})}_{\leq x e^{-t}/2}=O(x) $$ tal que (1) es correcta (al alza y con el término constante).

Partiendo de (1), podemos proceder como sigue: $$Y_0(x) \sim I=- \frac{2}{\pi}\int_{x/2}^\infty \!dz \frac{e^{-z}}{z}$$ Calculamos $$\frac{dI}{dx} = \frac{e^{-x/2}}{\pi (x/2)} = \frac{1}{\pi(x/2)} + O(1)$$ y por lo tanto $$I = \frac{2}{\pi} \ln(x/2) + C $$ con $C$ una constante.

La constante viene dada por $$ C= \lim_{x\to0^+}\left[I - \frac{2}{\pi} \ln(x/2) \right]=\frac{2}{\pi} \lim_{x\to0^+}\int_{x/2}^1 \frac{1-e^{-z}}z - \frac{2}\pi \int_1^\infty \frac{e^{-z}}z = \frac{2}{\pi} \int_{0}^1 \frac{1-e^{-z}}z - \frac{2}\pi \int_1^\infty \frac{e^{-z}}z .$$ No estoy seguro de que haya una manera fácil de mostrar que $C = 2 \gamma/\pi$ .

Answer 2

La constante podría fijarse de la siguiente manera:

Denotemos que la integral en cuestión es $D=\frac{\pi C}{2}=\color{blue}{J_1}+\color{red}{J_2}$ con

$$ \color{blue}{J_1}=\color{blue}{\int_0^1\frac{1-e^{-z}}{z}\quad},\quad\color{red}{J_2}=\color{red}{-\int_1^{\infty}\frac{e^{-z}}{z}\quad} $$

Comencemos con $\color{blue}{J_1}$ e integrar por partes:

$$ \color{blue}{J_1}=\color{blue}{\lim_{\epsilon\rightarrow0}\left(\log{\epsilon}-\int_{\epsilon}^1\frac{e^{-z}}{z}\right)}=\color{blue}{\lim_{\epsilon\rightarrow0}\left(\log{\epsilon}-\log{\epsilon}-\int_{0}^1\log(z)e^{-z}\right)}=\color{blue}{-\int_{0}^1\log(z)e^{-z}} $$

Integrar ahora $\color{red}{J_2}$ por rendimiento de las piezas

$$ \color{red}{J_2}=\color{red}{-\int_{1}^{\infty}\log(z)e^{-z}} $$

por lo tanto

$$ -D=-(\color{blue}{J_1}+\color{red}{J_2})=\color{blue}{\int_{0}^1\log(z)e^{-z}}+\color{red}{\int_{1}^{\infty}\log(z)e^{-z}}={\int_{0}^{\infty}\log(z)e^{-z}} $$

o

$$ D=\gamma $$

lo que implica

$$ C=\frac{2 \gamma}{\pi} $$