pregunta tonta sobre secuencias convergentes

Question

$(a_n)$ Es convergente, decir $a_n \to L$. Entonces $a_{n+1} \to L$ así.

Aquí está mi confusión:

¿ES $a_{n+1}$ destinado a ser el término de #% de #% % de la secuencia? ¿o es el subsequence $(n+1)st$??

Razón de la pregunta: en mi libro, la prueba que si $(a_2,a_3,a_4,....)$ converge, entonces $\sum a_n $ va como sigue:

Que $lim a_n = 0$ secuencia de sumas parciales. Desde $(s_n)$ converge, entonces $\sum a_n$. Nota $s_n \to L$ y

$s_{n+1} - s_n = a_n $$

así que aquí son asume $$ \lim a_n = \lim (s_{n+1} - s_n) = s - s = 0$ así, pero ¿por qué?

Answer 1

Sí, $a_{n+1}$ es el término de th de $(n+1)$ de la secuencia, al igual que $a_n$ es el término de th $n$.

Para responder tu otra pregunta, es porque si $n \to +\infty$ y $n+1 \to +\infty$ también. Así, $$ \lim_{n\to+\infty} s_{n+1} = \lim_{n+1 \to+\infty} s_{n+1}.$ $

Ahora hacer la sustitución $m=n+1$.

Answer 2

Un enfoque más riguroso sería tener en cuenta que $\left \{ a_n \right \}_{n\in \mathbb N}$ converge a $L$, así que hace cada subsequence y $\left \{ a_{n+1} \right \}_{n\in \mathbb N}$ es una de ellas. Esto puede verse fácilmente tan pronto como definimos $n:\mathbb N\to \mathbb N$ $n(k)=k+1$, para entonces, $a_{n_{k}}=a_{k+1}.$