La pregunta es: Dado un espacio métrico $X$ sin puntos aislados, y denso $Y \subset X$ , encontrar $Z \subset Y$ para que $Z$ y $Y-Z$ son ambos densos en $X$ . Ahora bien, si un espacio métrico $X$ sin puntos aislados tiene una base contable $B$ para la topología inducida, veo cómo responder a esta pregunta porque para cada $B_i \in B$ siempre se pueden elegir dos puntos distintos $y_i,z_i \in Y \cap (B_i - (\{y_1,\ldots,y_{i-1}\} \cup \{z_1,\ldots,z_{i-1}\}))$ y obtener la disyuntiva $Y',Z \subset Y$ que son ambos densos en $X$ completando la prueba. Pero no veo cómo hacer la prueba si no hay una base contable para la topología en $X$ . ¿Se mantiene el resultado en general para un espacio métrico $X$ sin puntos aislados, y si es así, ¿cuál es un argumento más general? Está bien que sólo se muestre $Z$ existe, por ejemplo, si se requiere el axioma de elección o hay un argumento aún más indirecto.
Respuesta
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Creo que tengo una prueba por el lema de Zorn. Empezando por $\epsilon = 1$ por el lema de Zorn existe un conjunto máximo de puntos $X_1 \subset X$ tal que todos los puntos de $X_1$ están a una distancia mínima de $1$ aparte. (Porque podemos ordenar todos los subconjuntos con puntos de distancia al menos $1$ por inclusión, y para una cadena de subconjuntos podemos tomar la unión para obtener un límite superior). Para tales $X_1$ cada punto de $X$ debe estar a una distancia $< 1$ de algún punto en $X_1$ (si no, podríamos añadir otro punto a $X_1$ y obtenemos un conjunto mayor). Entonces tomamos todas las bolas de radio $1/8$ centrado en los puntos de $X_1$ y elegir dos puntos distintos $y_B,z_B \in Y$ dentro de cada bola $B$ . Entonces definimos de forma similar $X_{1/2}$ sea un superconjunto máximo de $X_1$ para que todos los puntos de $X_{1/2}$ están a una distancia mínima de $1/2$ aparte. Y de forma similar para cada bola $B$ de radio $1/16$ centrado en un punto de $X_{1/2}$ elegimos dos puntos distintos $y_B,z_B \in B \cap Y$ que no han sido elegidos hasta ahora. Y así sucesivamente definir $X_{1/4}$ y tomando bolas de radio $1/32$ etc. En general para $X_{1/2^k}$ tomamos bolas de radio $1/2^{k+3}$ . Cuando consideramos $X_{1/2^k}$ , cada bola $B$ de radio $1/2^{k+3}$ centrado en un punto de $X_{1/2^k}$ es disjunta y hasta ahora sólo se han elegido en ella un número finito de puntos, porque hay como máximo un $x \in X_{1/2^m}$ que podría tener puntos elegidos en su bola que también están en $B$ para cada $m< k$ (esto se puede ver por la desigualdad del triángulo). Por lo tanto, porque $X$ no tiene puntos aislados y $Y$ es denso en $X$ siempre podemos elegir los nuevos puntos distintos $y_B, z_B \in Y$ de cada bola $B$ . Las colecciones de puntos elegidos $\{y_B\}_B$ y $\{z_B\}_B$ son subconjuntos disjuntos de $Y$ que son ambos densos en $X$ completando la prueba.
