$f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$, con las condiciones en $f$

Question

Me gustaría encontrar todas las funciones: $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R}$ tal que:

1. $f(x) \geq 0$, $\forall x \in \mathbb{Q}$ y la igualdad sólo si $x = 0$

2. $f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)$, $\forall x, y \in \mathbb{Q}$

3. $f(x+y) \leq\max\{f(x), f(y)\}$

¿Sugerencias, ideas?

Lo que encontré:

• $f$ es
• $f(x) = 1/f(1/x)$
• $f(kx) \leq f(x)$ $k \in \mathbb{N}$ y $f(kx) \leq 1$

Answer 1

No es una respuesta, pero algunos hechos probablemente significativos acerca de $f(x)$:

De la declaración que $f(x+y) \le \max \{f(x), f(y)\}$ podemos derivar la declaración $$f(2x) \le f(x)$ $ y así $$f(3x) \le \max \{f(2x), f(x)\}$ $ % $ de $$f(3x) \le f(x)$y, sin pérdida de generalidad, $$f(kx) \le f(x)$ $ para cualquier entero positivo $k$. Además, puesto que $f(x)$ es uniforme, $$f(-kx) \le f(x)$ $ para cualquier entero positivo $k$. ¿Esto significa que, desde $f(1)=f(-1)=1$, para todo número entero $x$, $$f(x) \le 1$ $ se puede extender esta afirmación a todos % racional $x$mayor que uno?

Answer 2

Algunos hechos

1. $f(n) \leq 1$ todos los $n\in\mathbb{Z}$
2. $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$
3. $f(x)$ = $f(|x|)=|f(x)|$
4. $f(1)= 1$ $f(0)=0$
5. Si $x\neq 0$$f(x)\neq 1$, entonces hay un $p\in\mathbb{P}$ tal que $f(p)<1$.

Estos hechos no son difíciles de varify.

las funciones que cumplen todas las condiciones

Tenga en cuenta que para cada $x\in \mathbb{Q}$ y cada una de las $p\in \mathbb{P}$ nos encontramos con $m,n,k \in \mathbb{Z}$tal que \begin{align} x = p^k \frac{m}{n} \quad \text{and}\quad \gcd(m,n)=1 \end{align} Ahora vamos a definir los $f_{p,c}:\mathbb{Q} \to \mathbb{R},\; f(x) = f(p^k \frac{m}{n}) = c^k$$p\in\mathbb{P}$$c\in\mathbb{R}$. Tenga en cuenta que si $x = \frac{m}{n}$ tal que $p\nmid m$$p\nmid n$$f(x)=1$.

El conjunto de todas las funciones que satisfacen todas sus condiciones \begin{align} M := \big\{f_{p,c} : p\in\mathbb{P} \text{ and } c\in (0,1]\big\} \end{align}

Es fácil comprobar que cada función en $M$ satisface todas las condiciones. Así que yo quiero probar el más interesante hecho de que no hay más funciones:

No hay más

Si hay un $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{R}$ que satisface todas las condiciones y $f\notin M$ entonces podemos concluir de hecho, el punto 5. que hay, al menos, $p_1, p_2\in\mathbb{P}$ tal que $f(p_1)<1$, $f(p_2)<1$ y $p_1>p_2$.

Ahora debemos hacer algún tipo de recursividad, tomar \begin{align}k_{i+1} := \max\{n\in\mathbb{N} : p_i-np_{i+1} > 0\} \quad\text{and}\quad r_{i+2} := p_i - k_{i+1} p_{i+1}\end{align} Si $f(p_{i})<1$$f(p_{i+1})< 1$$f(r_{i+2}) \leq \max\{f(p_{i}),f(k_{i+1}p_{i+1})\}< 1$, por lo que no es

• un primfactor $q$ $r_{i+2}$ tal que $f(q)<1$ o
• $r_{i+2}=1$

pero el segundo caso conduce a $f(1)< 1$, lo que contradice el hecho de que el punto 4. Por ello, puede suceder el caso 1 y podemos definir \begin{align} p_{i+2} := q \end{align} Claramente tenemos $0<p_{i+2}\leq r_{i+2}<p_{i+1}<p_{i}$$p_i \in \mathbb{P}$. Ahora podemos demostrar por inducción que existen infinitos números primos menores que $p_1$ lo cual es falso y nos da una contradicción con nuestra hipótesis de que $f \notin M$ $f$ satisface todas las condiciones.