Alternativa creativa pruebas que $A_4$ no tiene ninguna subgrupos de orden 6

Question

Desde que he estado tan inmersa en teoría del grupo este semestre, he decidido concentrarse en cierto curioso: $A_4$ no tiene ninguna subgrupos de orden $6$.

Aunque sé cómo probar esta afirmación, estoy interesado en ver qué chicos puede ofrecer en términos de pruebas únicas y creativas de esta declaración!

Pruebas sin palabras sería interesante también, aunque no estoy seguro que es posible.

Answer 1

Un grupo de orden $6$ es isomorfo a $C_6$ o $S_3$. Podemos descartar $C_6$ ya $A_4$ no tiene ningún elemento de orden 6; por lo tanto el subgrupo debe ser isomorfo a $S_3$. Pero tres elementos de orden $S_3$ $2$. En $A_4$ los tres elementos del orden $2$ generarían un grupo de orden $4$, por lo que no puede ser contenidas en un grupo de orden $6$.

Answer 2

Así que tenemos un grupo $G$ del orden $12$ con un subgrupo normal $H$ % orden $4$y un subgrupo normal $K$ $6$ de la orden. Entonces $H\cap K$ es un subgrupo normal. Tiene orden $2$ (desde if $H\cap K=1$, entonces el $|G|=24$). Así, $|G/(H\cap K)|=6$ y tiene un único 3-subgrupo de Sylow, así que no es $S_3$. La única alternativa es que es cíclico. Debido a un cociente de $G$ contiene un elemento de orden $6$, también lo hace en $G$.

Answer 3

Bueno, si usted tiene el tiempo y usted realmente quiere convencerse de que siempre podría lista de todos los elementos de a $A_4$.

$A_4=\{(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23),(123), (132), (124),(142),(134), (143), (234), (243)\}$

Se multiplican los elementos unos con otros para ver qué elementos deben ir juntos dentro de un subgrupo. Usted verá que estos son los siguientes subgrupos podría hacer:

el trivial de los subgrupos de orden $1$:

$<(1)>=\{(1)\}$

tres (cíclico) subgrupos de orden $2$:

$<(12)(34)>=\{(1),(12)(34)\}$

$<(13)(24)>=\{(1),(13)(24)\}$

$<(14)(23)>=\{(1),(14)(23)\}$

cuatro (cíclico) subgrupos de orden $3$:

$<(123)>=\{(1),(123),(132)\}$

$<(124)>=\{(1),(124),(142)\}$

$<(134)>=\{(1),(134),(143)\}$

$<(234)>=\{(1),(234),(243)\}$

el subgrupo de doble transposición de la orden de $4$ (isomorfo a la Klein-grupo de 4):

$\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$

y el propio grupo de orden $12$:

$A_4=\{(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23),(123), (132), (124),(142),(134), (143), (234), (243)\}$