breve secuencia exacta de holomorphic vector de paquetes de split, pero no holomorphically, sólo $C^{\infty}$

Question

Si hay una breve secuencia exacta de holomorphic vector de paquetes, $$0 \overset{a_1}{\to} W \overset{a_2}{\to} V \overset{a_3}{\to} F \overset{a_4}{\to} 0,$$ then one can expect a $C^{\infty}$ splitting $$V \cong W \oplus F$$ en lugar de un holomorphic división.

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Sé que a s.e.s. necesidades consecutivos mapas a la igualdad de $1$, y que por la exactitud que $im(a_i) = ker(a_{i+1})$. También sé que un vector paquete es sólo un colector con la fibra como un espacio vectorial (complejo). Para una abreviatura de la notación de un vector paquete, yo uso $\pi: E \to B$ donde $B \times V$ es el espacio de los productos y $\pi$ es el haz de fibras. Escrita en forma de s.e.s., este es $$V \to E \overset{\pi}{\to} B.$$ Also $a_2$ is injective and $a_3$ es surjective.

Así es la razón por la que la división es sólo $C^{\infty}$, y no holomorphic, porque los mapas, $a_2^{-1}$ o $a_3^{-1}$ no inyectiva?

Answer 1

En un (paracompact) complejo colector de todos los cortos exacta secuencias de $C^{\infty}$ vector de paquetes son de $C^{\infty}$ split, por lo que es suficiente para presentar una secuencia exacta de holomorphic vector de paquetes que no holomorphically split.

El ejemplo más sencillo es la secuencia exacta en $\mathbb P_\mathbb C^1$:
$$0\to \mathcal O(-2) \to \mathcal O(-1) \oplus \mathcal O(-1)\to \mathcal O\to 0$$ No partida porque los paquetes de $\mathcal O(-1) \oplus \mathcal O(-1)$ $\mathcal O(-2) \oplus \mathcal O$ son no isomorfos: el segundo tiene un valor distinto de cero holomorphic secciones, pero la primera no.

Answer 2

Tenga en cuenta que a menos que $W$ o $F$ es cero, ni $a_2$ ni $a_3$ será invertible, y por lo que no hay como los mapas de $a_2^{-1}$ o $a_3^{-1}$.

Dada esta breve secuencia exacta, existe una $C^\infty$ dividir básicamente porque no existe $C^\infty$ particiones de la unidad: tomar una cubierta de $B$ por abrir se pone sobre cada uno de los cuales puede trivializar $V$, y poner un suave hermitian métrica en cada uno de los trivializado paquetes. Usted puede entonces utilizar una partición de la unidad a la revisión de las métricas juntos en una métrica en la totalidad del conjunto $V$. Entonces usted tiene un hermitian métrica en cada fibra de $V_x$, y así tomar el complemento ortogonal de $W_x$ consigue una división de $V_x = W_x \oplus W^\perp_x$, lo que da una división de $V = W\oplus W^\perp$ a nivel mundial, desde la métrica varía suavemente. Por último, tenemos las $W^\perp\cong F$ ya que ambos son isomorfo al cociente bundle $V/W$.

Toda esta historia no funciona en el holomorphic mundo, porque en general, no hay holomorphic particiones de la unidad - no hay suficiente holomorphic funciones, en contraste con el buen caso.