No $\Delta-$Sistema en el que un subconjunto de un singular cardenal.

Question

He estado haciendo mi camino a través de la nueva Kunen y he venir a través de un ejercicio que no puedo trabajar. La pregunta es esta:

Deje $\kappa$ ser un singular cardenal. Mostrar que hay una colección de $A$ $\kappa$ muchos a dos elementos, subconjuntos de a $\kappa$ tal que ningún elemento de $[A]^\kappa$ formas un $\Delta-$ sistema. Donde $[A]^\kappa$ es el conjunto de los subconjuntos de Un tamaño $\kappa$.

Se agradece cualquier ayuda (es decir, las sugerencias de bienvenida).

Answer 1

$\newcommand{\cf}{\operatorname{cf}}$Deje $\cf\kappa=\lambda<\kappa$, y deje $\langle\alpha_\xi:\xi<\lambda\rangle$ ser estrictamente creciente secuencia cofinal en $\kappa$ tal que $\alpha_0=0$. Para $\xi<\lambda$ deje $K_\xi=[\alpha_\xi,\alpha_{\xi+1})$; a continuación,$\kappa=\bigcup_{\xi<\lambda}K_\xi$, e $|K_\xi|<\kappa$ por cada $\xi<\lambda$. Vamos $$A=\bigcup_{\xi<\lambda}[K_\xi]^2\;;$$ clearly $|A|=\kappa$, and I leave to you the straightforward verification that $$ has no $\Delta$-system of power $\kappa$.