Distribución uniforme en el círculo unitario (en el plano complejo)

Question

Estaba tratando de demostrar que para una variable gaussiana compleja estándar $Z$ sostiene que $|Z|^2$ se distribuye exponencialmente con el parámetro 1, $\frac{Z}{|Z|}$ se distribuye uniformemente en el círculo unitario $S^1:=\{z\in\mathbb{C} | |z|=1\}$ y que ambos son independientes.

En algún momento empecé a preguntarme:

Cómo se describe la distribución uniforme en el círculo unitario $S^1$ ?

Resolví decir que es el complejo r.v. $e^{i\theta}$ donde $\theta$ se distribuye uniformemente en $[0,2\pi]$ . Esto parecía funcionar bien (c.f. la respuesta de Byron a este pregunta ).

Sin embargo, si esto es correcto, entonces este pequeño argumento pasará:

Dejemos que $f:S^1 \rightarrow \mathbb{R}$ estar acotado. Entonces $$E[f(Z)]=\int_{0}^{2\pi}{f(e^{i\theta})\frac{1}{2\pi}}d\theta=\frac{1}{2\pi i}\int_{S^1}{\frac{f(z)}{z}}dz,$$

donde para la última ecuación $z=e^{i\theta}$ y por lo tanto $\frac{dz}{d\theta}=ie^{i\theta}$ es decir $\frac{dz}{iz}=\frac{dz}{ie^{i\theta}}={d\theta}$ . Así que:

Es $\frac{1}{2\pi i z}$ algún tipo de densidad para una variable aleatoria uniformemente distribuida en $S^1$ ?

(Escribo "algún tipo" ya que no puede ser uno porque el círculo unitario tiene medida de Lebesgue 0 y, por tanto, la medida de probabilidad inducida no puede ser absolutamente continua para él).

Gracias por aclarar mi falta de claridad.

Answer 1

Intento reformular los comentarios de fgp como respuesta.

Consideremos primero un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}')$ y una variable aleatoria distribuida uniformemente en $[0,2\pi]$ :

$$X: (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}') \rightarrow ([0,2\pi],\mathcal{B}([0,2\pi])).$$

Además, consideremos la parametrización del círculo unitario

$$p: [0,2\pi] \rightarrow S^1; \quad x \mapsto e^{i\cdot x}$$

que es continua.

Ahora considere el espacio $(S^1,\mathcal{B}(S^1))$ donde $\mathcal{B}(S^1)$ es el $\sigma$ -generada por los conjuntos abiertos de $S^1$ .

Definimos $\mathbb{P}$ para ser la medida de probabilidad inducida por el mapa

$$p\circ X: (\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}') \rightarrow (S^1,\mathcal{B}(S^1)); \quad \omega \mapsto e^{i X(\omega)}.$$

Entonces tenemos

\begin {Ecuación} P(Z \in A) = \frac {1}{2 \pi i} \int_ {A}{ \frac {1}{z}}dz \qquad \forall A \in \mathcal {B}(S^1) \end {Ecuación}

o más generalmente

$$E[f(Z)]=\frac{1}{2\pi i}\int_{S^1}{\frac{f(z)}{z}}dz$$

para cualquier función medible y acotada $f: S^1 \rightarrow \mathbb{R}$

Así que debemos tener cuidado con lo que es realmente el espacio medible. En el caso de la "densidad" de la pregunta estamos considerando el espacio de probabilidad $(S^1,\mathcal{B}(S^1), \mathbb{P})$ y sobre esto obtenemos podemos dar el valor de $\mathbb{P}$ mediante la fórmula anterior.

Por lo tanto, lo anterior no es una densidad con respecto a la medida de Lebesgue en $\mathbb{C}$ sino una forma de formular el valor con la ayuda de la parametrización de (o -para ser más precisos- una integral de contorno a lo largo) del círculo unitario $S^1$ .