Supremum de una función suave es suave

Question

Estoy bastante seguro de que esta es una pregunta fácil, pero yo no puedo demostrar mis sospechas.

Para $f\in\mathbf{C}^\infty(\mathbf{R})$, vamos a $g(t):=\sup_{t\leq x} f(x)$. A continuación,$g\in\mathbf{C}^\infty(\mathbf{R})$.

Quiero decir que esto es cierto, pero soy incapaz de justificar plenamente. En mi mente, estoy eficazmente la visualización de $g$ como un suave paso de la función que siempre aumenta, pasando de una colina de $f$ al siguiente superior de la colina de $f$ $t$ aumenta. $g$ se mueve desde que a principios de la colina a la siguiente colina con $f$ (aka sin problemas), así que la única manera posible de puntos donde $g$ puede ser lisa, que no son los puntos de $\{x \mid f(x)=\max_{t\leq x}{f(t)}, f'(x)=0, f''(x)<0\}$. Estos son los puntos donde $g(x)$ deja de seguir a $f(x)$ y en su lugar es la función cero hasta $f(x)$ "capturas" de nuevo, en dirección a la siguiente más alto de la colina.

Sin embargo, cuando trato y la construcción de una prueba de por qué estos puntos no pueden ser verdaderas de la contradicción, que no se puede entrar en cualquier lugar. Puede alguien darme un contraejemplo, o alguna sugerencia de cómo probar esto?

Answer 1

Esto es bastante claramente no es cierto. Consideremos por ejemplo el mapa $$f(x) = e^x\sin(x).$$ Sin embargo, la declaración es verdadera si reemplazar $C^\infty$ $C^0$ en todas partes, o por trozos $C^\infty$ (al menos bajo la leve supuesto de que el conjunto de puntos críticos de $f(x)$ es discreta).

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Como se señaló en los comentarios, esto sólo tiene sentido cuando se $f(x)$ está delimitado por encima como $x\to-\infty$.

La razón de la "seccionalmente continua" es la siguiente: todos Hemos acordado que $g(t)$ es continua. Deje $t_0\in\mathbb{R}$, entonces tenemos tres casos posibles:

1. Si $f(t_0)<\max_{x\le t_0}f(x)$, luego por la continuidad de la $f(x)$ sabemos que esto sigue siendo cierto en un pequeño barrio de $t$. Por lo tanto, $g(t)$ es constante en dicho barrio, y en particular a nivel local suave.
2. Si $f(t_0)=\max_{x\le t_0}f(x)$ y es un máximo local, o $f(t_0)=g(t_0)$, y para todos los $\epsilon>0$ lo suficientemente pequeño como tenemos que $f(t-\epsilon)<g(t-\epsilon)$ (es decir, un punto donde la $f$ "une" con $g$), entonces la $g(t)$ podría no ser suave en $t_0$. Observe que estos puntos deben ser aislado (o podríamos tener una pieza donde el $f$ es máxima, pero constante, lo que nos da una suave pieza y por lo tanto no hay problemas).
3. El otro caso es cuando se $f(t) = g(t)$ en un pequeño barrio de $t_0$. Aquí, $g(t)$ es de curso automáticamente suave como la $f(x)$ es.