Iterativo raíces de seno

Question

Existe una función analítica $f(z)$ tal que $f(f(z)) = \sin(z)$? De manera más general, una función analítica, tal que f aplica $n$ a veces $z$ da $\sin(z)$?

Hay una teoría general para responder a esta pregunta para funciones además de la $\sin(z)$?

Answer 1

No, no analítica. En la recta real es de $C^\infty$ a trozos y analítica. ver http://mathoverflow.net/questions/45608/formal-power-series-convergence/46765#46765 En el plano complejo, la cosa puede ser definida en una vecindad del origen, como uso fundamental es el hecho de que el logaritmo. El resultado final es fácilmente modificado para dar a $n$-th iterativo raíces aquí, mismas condiciones.

Hay toda una disciplina dedicada a esto. Después de los nombres tradicionales, Fatou, Leau, Julia, la moderna nombres de Baker y Ecalle. Pongo una serie de elementos como archivos pdf en BAKER. Me gustaría, algún día, a ver una traducción de Ecalle de 1973 de la tesis.

Ahora, dado un determinado $x$ $x_1 = \sin x$ $ x_{n+1} = \sin x_n,$ podemos tomar $$ \alpha(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \; \; \; \left( \frac{3}{x_n^2} \; + \; \frac{6 \log x_n}{5} \; + \; \frac{79 x_n^2}{1050} \; + \; \frac{29 x_n^4}{2625} \; - \; n \right).$$

Tenga en cuenta que$\alpha$, en realidad se define en $ 0 < x < \pi$ con $\alpha(\pi - x) = \alpha(x),$ , pero la simetría también significa que la función inversa $\alpha^{-1}$ devuelve el intervalo de $ 0 < x \leq \frac{\pi}{2}.$ Mientras tanto, $ \; \alpha(\sin x) = 1 + \alpha(x).$

Definir $$ f(x) = \alpha^{-1} \left( \frac{1}{2} + \alpha(x) \right) $$

A continuación, $$ f(f(x)) = \sin x. $$

Tenga en cuenta que $\alpha$ golpes en el origen. Así, por $0 < x < \frac{1}{10},$ usted podría utilizar la primera media docena de términos de la expansión asintótica llamé $g$ en el MO pregunta.

EDICIÓN, de LUNES Ago 26: puede ayudar a señalar que $\alpha$ es holomorphic en un abrir rombo con vértices opuestos en $0$ $\pi,$ más en diagonal a lo largo del eje real, y $60^\circ$ ángulo en estos dos vértices. El rombo se compone de dos triángulos equiláteros. No tengo idea de cuánto más grande es una máxima de dominio de holomorphicity sería.

Answer 2

Google la frase "Lo que tienen que hacer dos veces en el fin de pecado" (entre comillas, verbatim) y usted encontrará un artículo sobre ello.