Quiero demostrar que
Si $M$ es un espacio métrico, entonces una red $\varphi : [0, \omega_1) \to M$ converge si y sólo si $\varphi$ es finalmente constante. ( $[0, \omega_1)$ es el conjunto de ordinales menores que $\omega_1$ , donde $\omega_1$ es el primer ordinal incontable, con la topología de orden).
$(\Leftarrow)$ está claro.
Mi problema es con $(\Rightarrow)$ . Supongamos que $\varphi \rightarrow x$ .
Dejemos que $U = \{ \alpha \in [0, \omega_1) \, \mid \varphi(\alpha) \neq x \}.$
Si $U = \emptyset $ hemos terminado, por lo que asumimos $U \neq \emptyset$ . Desde $[0, \omega_1)$ está bien ordenado, hay un $\alpha_1 \in U$ tal que $ \alpha_1 \leq \alpha \, \, \forall \alpha \in U.$
Si $ U \setminus \alpha_1 = \emptyset$ hemos terminado. Si no, repetimos el procedimiento.
Está claro que si $card(U) = n$ para algunos $n \in \omega$ entonces sólo tenemos un conjunto finito de ordinales $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}=U$ así que $\varphi$ es constante para $\alpha > \alpha_n.$
Si $U$ es contablemente infinito, entonces $U = \{\alpha_n\}_{n \in \omega}$ y como $[0, \omega_1)$ es secuencialmente compacto y el $\alpha_n$ son ordinales contables obtenemos una subsecuencia convergente $\{\alpha_{n_k}\}$ de $U$ a algún ordinal contable $\beta \in [0, \omega_1)$ $[\beta = \cup_{n_k \in \omega}\alpha_{n_k}???],$ por lo que $\varphi$ es constante para todo $ \alpha > \beta.$
Pero, ¿y si $U$ es incontable?
Idea: Si $U = [0, \omega_1),$ entonces desde $\varphi \rightarrow x$ para cada $n \in \omega$ hay $\alpha_n \in U$ tal que $\alpha \geq \alpha_n \implies \varphi(\alpha) \in B_{\frac{1}{n}}(x).$ Se trata de una secuencia contable, por lo que como $[0, \omega_1)$ es secuencialmente compacto, existe una subsecuencia que converge a un ordinal contable $\beta \in [0, \omega_1)$ . Claramente, $\beta$ cumple con lo siguiente $\phi(\beta) \in B_{\frac{1}{n}}$ (x) para cada $n \in \omega.$
Podemos concluir que $\varphi(\beta)= x$ ¿verdad?
Porque si $\varphi(\beta) \neq x$ , entonces tomando $n$ tal que $0 < \frac{1}{n} < d(x, \varphi(\beta)),$ tendríamos que $\varphi(\beta) \not \in B_{\frac{1}{n}}(x),$ contradiciendo la hipótesis.
Me siento bastante seguro de esto, pero si alguien ve un error en el argumento, por favor, coméntelo. Gracias.
