Convergencia uniforme de $\sum_{n \ge 0} (-1)^n(1-x)x^n$

Question

Vamos $f_n: [0,1] \to \mathbb{R}$, $f_n(x)=(-1)^n (1-x)x^n, \forall x\in [0,1], n \ge 0$. Demostrar que $\sum\limits_{n \ge 0} f_n(x)$ convergenes de manera uniforme.

Deje $S_n(x) = \sum\limits_{k = 0}^n f_k(x), \forall x \in [0,1], n \ge 0$.

A continuación,

$S_n(x)=1-x-x+x^2+x^2-x^3-x^3+x^4+...+(-1)^{n-1}x^{n-1}+(-1)^nx^n+(-1)^nx^n+(-1)^{n+1}x^{n+1}$

así

$S_n(x)=1-2x+2x^2-...+(-1)^n\cdot 2x^n+(-1)^{n+1}x^{n+1}, \forall x\in [0,1], n \ge 0$.

Sabemos que $1+x^{2p+1}=(1+x)(x^{2p}-x^{2p-1}+x^{2p-2}-....+x^2-x+1)$, por lo que, para $n=2p$, $p \ge 0$, podemos escribir: $$ S_{2p}= 2(1-x+x^2-...+x^{2p})-1-x^{2p+1}=2 \cdot \frac{1+x^{2p+1}}{1+x}-1-x^{2p+1}$$ Ahora, es fácil ver que $\lim\limits_{p \to \infty}S_{2p}(x)=\frac{1-x}{1+x}, \forall x\in [0,1]$.

Para $n=2p+1$, $p \ge 0$, tenemos: $$ S_{2p+1}(x)=2(1-x+x^2-...+x^{2p+2})-1-x^{2p+2}=2\cdot \frac{1+x^{2p+3}}{1+x} -1 -x^{2p+2} $$ En este caso tenemos: $\lim\limits_{p \to \infty} S_{2p+1}(x) = \frac{1-x}{1+x}, \forall x\in [0,1]$.

Por eso, $\lim\limits_{n \to \infty} S_n(x) =\frac{1-x}{1+x}, \forall x\in [0,1]$.

Ahora, queda por demostrar que $\lim\limits_{n\to \infty} \sup\limits_{x \in [0,1]} |S_n(x)-\frac{1-x}{1+x}|=0$.

Es fácil ver que $g_n(x)=|S_n(x)-\frac{1-x}{1+x}|=x^{n+1} \cdot \frac{1-x}{1+x}$.

¿Cómo puedo seguir?

Answer 1

Sugerencias : con su notación, $g_n'(x) = \frac{ x^{n-1}(-nx^2+n-2x)}{(x+1)^2}$. El signo de $g_n'(x)$ $[0,1]$ es el mismo que el signo de $-nx^2+n-2x$ y, en consecuencia, no es negativo en $\left[0, \frac{\sqrt{n^2+1}-1}{n}\right]$ y no positivos en $\left[\frac{\sqrt{n^2+1}-1}{n},1\right]$. En consecuencia, el máximo de $g_n$$[0,1]$$x= \frac{\sqrt{n^2+1}-1}{n}$. Un estudio de la convergencia de las $g_n\left( \frac{\sqrt{n^2+1}-1}{n} \right)$ debe conducir a una solución.