Un $\sigma$-álgebra es, como una topología, un conjunto de subconjuntos de un cierto espacio $X$. Es tanto más grande y más pequeño que una topología, aunque de menor tamaño, ya que solo se requiere ser cerrado bajo contables de los sindicatos, en lugar de todos los sindicatos, pero a lo grande, porque también es cerrado bajo la complementación, y por lo tanto de de Morgan de la ley, contables intersecciones. Así que tanto los abiertos y conjuntos cerrados se obtendría a partir de la base de una topología si sólo tomó contables de los sindicatos, sino también permitió contables de las intersecciones.
Un conjunto medible es sólo un elemento de algunos $\sigma$-álgebra en $X$. El contenido se presenta en el momento de definir las medidas, que son funciones de la $\sigma$-álgebra a $[0,\infty]$ que satisfacer algunos evidente propiedades de una generalización de longitud.
El álgebra de Borel en algún espacio topológico $X$ $\sigma$- álgebra generada por su topología: tomar la apertura y cierre de conjuntos contables de uniones e intersecciones de aquellos, de los complementos de los contables de uniones e intersecciones de las personas, y así sucesivamente. Un conjunto de Borel es sólo un elemento del álgebra de Borel.
Nota: en este caso lo que me dijo acerca de un $\sigma$-álgebra de ser más pequeño que una topología no se sostiene en absoluto! El álgebra de Borel es importante, especialmente porque es el más pequeño de $\sigma$-álgebra que contiene la topología: obviamente nos gustaría tener abiertos y conjuntos cerrados de reales medibles, y para lograr eso tenemos que dejar al menos, todos los conjuntos de Borel medible así. Usted puede pensar de los conjuntos de Borel como cada conjunto razonable; en particular, los racionales son Borel en $\mathbb{R}$ con el estándar de la topología, a pesar de que está ni cerrado ni abierto.
