Quiero encontrar la descomposición primaria de $(x^2, xy^2)$ como un ideal de a $k[x,y,z]$ donde $k$ es de campo. Mi conjetura es $(x^2, xy^2) = (x) \cap (x^2, y^2)$ sin embargo no estoy 100% seguro de si $(x^2, y^2)$ es una de las principales ideales.
Mi enfoque para ver este era utilizar el hecho de que $I$ es la principal unidad de todos los divisores de cero de a $R/I$ son nilpotent. Yo argumenté que si tenemos algo de $p(x,y,z), q(x,y,z)$ cuyas imágenes en $k[x,y,z]/(x^2,y^2)$ son divisores de cero, a continuación, $p$ $q$ no pueden tener $z$ términos (su producto debe estar en $(x^2,y^2)$) o de cualquiera de términos constantes. Entonces cualquier cero divisor es de la forma $ax+by + cxy$ que es nilpotent ya que elevar a un nivel suficientemente alto de energía y la expansión a través del teorema del binomio, cada término va a tener al menos $x^2$ o $y^2$. Algo acerca de esto parece demasiado fuerte para mí. Este razonamiento podría demostrar que en $k[x,y]$ cualquier ideal que contiene a $x^k$ $y^l$ algunos $k$ $l$ es una de las principales ideales. Es eso cierto?
