$f:X\rightarrow Y$ es una suryección continua, $X$ y $Y$ son espacios topológicos

Question

$f:X\rightarrow Y$ es una suryección continua Entonces

1. Si $V$ está abierto, ¿implica esto que $f(V)$ ¿está abierto?

2. Si $F$ está cerrado, ¿implica esto que $f(F)$ ¿está cerrado?

3. Si $A$ es un subconjunto infinito, ¿implica esto que $f(A)$ es tan en $Y$ ?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Nada de esto es cierto.

Dejemos que $\Bbb S$ sea el Espacio de Sierpinski es decir $\Bbb S=\{0,1\}$ donde los conjuntos abiertos son $\emptyset,\{1\}$ y $\{0,1\}$ .

Definir $f:\Bbb R\to\Bbb S$ de la siguiente manera: $$f(x)=\begin{cases}0;&x\leq 0\\1;&x>0\end{cases}$$

Se trata de una suryección continua, ya que $f^{-1}(\{1\})$ es abierto, pero ninguna de las propiedades se mantiene:

• $f((-\infty,0))=\{0\}$ no está abierto
• $f([1,\infty))=\{1\}$ no está cerrado
• la imagen de $\Bbb R$ es finito.

Answer 2

1 es falso. Considere $f(x) = |x| \sin x$ entonces $f((-\pi, \pi)) = [-\pi/2, \pi/2]$ .

Answer 3

Las tres cosas son falsas.

1. $X=I$ , $Y=S^1$ y $f$ pega los extremos de $I$ juntos. Entonces cualquier subconjunto abierto $(a,1]\subseteq I$ se asigna a un conjunto no abierto.

2. Dejemos que $X=Y$ como conjuntos, donde $X$ tiene la discreta y $Y$ tiene la topología trivial. Cualquier subconjunto de $X$ está cerrado pero no necesariamente en $Y$ .

3. $X=Y\coprod Y$ con $Y$ infinito y $f$ la identidad en un componente y constante en el otro.

Answer 4

$3$ es falsa ya que se pueden construir funciones que sean localmente constantes y elegir $X$ desconectado (cada componente conectado infinito) para un contraejemplo.

Answer 5

Aquí hay dos definiciones que pueden ser útiles para usted:

Si $1$ es verdadero, llamamos a $f$ es una función abierta; Si $2$ es verdadero, llamamos a $f$ es una función cerrada. Todas estas funciones son diferentes de las funciones continuas.