Primero vamos a demostrar que los vectores propios de infinito-dimensional de 2º orden diferencias finitas de la matriz para la 2ª derivada son
$$v_{k,x}=\sin\left(\frac\pi{n+1}kx\right),$$
donde $v_{k,x}$ $k$ésimo vector propio de a $x$th componente, con $k=1,2,...,n$$x=1,2,...,n$. Es fácil calcular que
$$v_{k,x+1}-2v_{k,x}+v_{k,x-1}=-4\sin^2\left(\frac\pi{n+1}\frac k2\right)v_{k,x}.$$
I. e. 2º orden de diferencia finita de $v_{k,x}$ es sólo $v_{k,x}$ multiplicado por el autovalor dada en la pregunta.
Para finito de la matriz nos fuerza a nuestra función es igual a cero en las fronteras (implícita en$x=0$$x=n+1$), y la matriz utiliza el valor automáticamente cuando se nos acaba de decir que su fila superior es $(-2,1,0,..,0)$ y de manera similar para la fila inferior.
Ahora se puede calcular de la misma manera para las infinitas dimensiones de la matriz de 4to orden de precisión para demostrar que sus autovalores son
$$\lambda_k^{(4th)}=\frac23\left(\cos\left(\frac{\pi}{n+1}k\right)-7\right)\sin^2\left(\frac\pi{n+1}\frac k2\right).$$
El peligro aquí es la forma correcta de imponer las condiciones de contorno. Queríamos tener cero las condiciones de contorno de Dirichlet, y para los de 4º orden diferencias finitas de la matriz con $(c,b,a,b,c)=\left(-\frac1{12},\frac43,-\frac52,\frac43,-\frac12\right)$ en la diagonal sería tentador escribir:
$$D^{(4º)}=\begin{pmatrix}
a&b&c&0&0&0\\
b&a&b&c&0&0\\
c&b&a&b&c&0\\
0&c&b&a&b&c\\
0&0&c&b&a&b\\
0&0&0&c&b&a
\end{pmatrix}.$$
Pero tal matriz se supone que los destinatarios de nuestros función tiene ceros más allá de la frontera, que es bastante malo: esta función no es diferenciable en frontera, lo que diferencia finita perderá su alto nivel de precisión en las fronteras.
Como nosotros (los usuarios) realmente no me importa lo que la función se comporta fuera de nuestro dominio, lo que tenemos que hacer es antisymmetrically continuar con nuestra función más allá de las fronteras, de modo que permanece completamente diferenciables. Actualmente en la fila superior tenemos
$$\underbrace{\color{gray}{c\;\;\;\;b}}_\text{implied}\;\;\underbrace{(a\;\;\;\;b\;\;\;\;c\;\;\;\;0\;\;\;\;0\;\;\;\;0)}_\text{actual row},$$
y ahora el implícita $b$ es en la frontera, por lo tanto se multiplica por $0$, pero $c$ está fuera del dominio, y como ahora nos antisymmetrically seguir a la función, $c$ debe ser multiplicado por menos el mismo valor que para $a$ en la fila real. I. e. ahora tenemos fila actualizada:
$$(a-c\;\;\;\;b\;\;\;\;c\;\;\;\;0\;\;\;\;0\;\;\;\;0),$$
y lo mismo para la fila inferior. Para los de 6º orden vamos a modificar dos filas en la parte superior e inferior, de 8 de - tres, etc. - por el número de valores necesarios para ser tomados a partir de los puntos fuera del dominio.
Similares cálculo de las anteriores 4 de la orden de la matriz sería de 6 de fin de dar:
$$\lambda_k^{(6th)}=\frac2{45}\left(23\cos\left(\frac\pi{n+1}k\right)-2\cos\left(\frac{2\pi}{n+1}k\right)-111\right)\sin^2\left(\frac\pi{n+1}\frac k2\right).$$
