La torsión de los puntos de una curva elíptica sobre la extensión infinita

Question

¿Cómo puedo ver que, si $E$ es una curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$, que $$E(\overline{\mathbb{Q}})_{tors}=E(\mathbb{C})_{tors}=(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^2,$$ and that $E(\overline{\mathbb{Q}})/E(\overline{\mathbb{Q}})_{.}$ tiene una infinidad de rango?

Answer 1

Si $P$ es un punto de torsión en $E(\mathbb{C})$, entonces no existe $n$ tal que $nP = 0$. Pero la multiplicación por $n$ mapa es expressable en términos de funciones racionales en el Weierstrass coeficientes de $E$, por lo que las coordenadas de a $P$ deben ser números algebraicos, es decir,$P$$E(\overline{\mathbb{Q}})$.

Ahora a ver que la torsión del grupo es isomorfo a $(\mathbb{Q}/\mathbb{Z})^2$ es fácil si usted está familiarizado con el complejo de uniformización $E(\mathbb{C}) = \mathbb{C}/\Lambda$, ya que la torsión en este último grupo es $\varinjlim \frac{1}{n} \Lambda / \Lambda = (\Lambda \otimes \mathbb{Q}) / \Lambda$.

Answer 2

La infinitud de la clasificación es algo sutil. Usted puede ver una prueba en este artículo de Frey y Jarden (véase la Sección 2).