Encontrar el límite con Euler ' s fórmula

Question

Necesito encontrar el límite de las siguientes, utilizando la fórmula de Euler.

$$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{2} \cos{x} + \frac{1}{2^2} \cos{2x}. . . . + \frac{1}{2^n} \cos {nx}\right)$$

Gracias

Answer 1

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n} \frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2^{k+1}}$, es una suma de las dos progresiones geométricas.

Resumen % de G.P. $\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{(e^{ix}/2)^{n+1} - 1}{(e^{ix}/2) - 1}+\frac{(e^{-ix}/2)^{n+1} - 1}{(e^{-ix}/2) - 1}\right)$

Answer 2

$$ \begin{align} \sum_{k=0}^\infty\frac{\cos(kx)}{2^k} &=\frac12\sum_{k=0}^\infty\frac{e^{ikx}+e^{-ikx}}{2^k}\\ &=\frac12\left(\frac1{1-\frac{e^{ix}}2}+\frac1{1-\frac{e^{-ix}}2}\right)\\ &=\frac12\frac{2-\cos(x)}{\frac54-\cos(x)}\\ &=\frac{4-2\cos(x)}{5-4\cos(x)} \end{align} $$

Answer 3

Necesitamos $\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\dfrac{\cos rx}{2^r}$

Como $\dfrac{\cos rx}{2^r}$=Re$\left(\dfrac{e^{ix}}2\right)^r$ y $\left|\dfrac{e^{ix}}2\right|=\dfrac{|e^{ix}|}2=\dfrac12<1,$

$\lim_{n\to\infty}\sum_{r=0}^n\left(\dfrac{e^{ix}}2\right)^r=\dfrac1{1-\dfrac{e^{ix}}2}$ $=\dfrac2{2-e^{ix}}=\dfrac2{2-(\cos x+i\sin x)}=\dfrac{2(2-\cos x+i\sin x)}{(2-\cos x)^2+(\sin x)^2}$