En un problema reciente que intentaba resolver, me encontré con un obstáculo cuando reduje el problema a la búsqueda de una forma cerrada para la siguiente suma $$ \mathcal{S}_n(x)\equiv\sum_{k=1}^n{\rm csch}^2\left(\frac xk\right) $$ Parece engañosamente sencillo, como si hubiera algún truco para evaluarlo que no estoy viendo. He intentado algunas cosas como reescribir el ${\rm csch}$ en términos de $\exp$ multiplicando la parte superior y la inferior del sumando por $\exp(2x/k)$ para conseguir $\displaystyle\frac{4\exp(2x/k)}{(\exp(2x/k)-1)^2}$ y luego se expande como una serie de potencias en $\exp(2x/k)$ pero no terminé con nada más bonito que el original. Por capricho, creo que si hubiera continuado este proceso habría acabado con una suma de funciones zeta, que desde luego no es lo que buscaba.
En concreto, estoy buscando una forma cerrada para $\mathcal{S}_n(x)$ en términos de $n$ y $x$ . Me parece que sería necesario el análisis de Fourier o el análisis complejo para conseguir algo bonito. ¿Alguna idea?
Por cierto, no tengo ninguna razón para creer que existe una forma cerrada para esta suma, aparte del hecho de que he visto cosas mucho más improbables que poseen formas cerradas.
